复旦大学 2001 量子真题

                     

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　　 复旦大学 2001 年招收攻读硕士研究生入学考试试题

　　 1. 质量为 $m$ 的粒子在一维对称势场 $V(x)=A{x}^2$ 中运动，请用量子化条件求粒子能量 $E$ 的可能取值。(20 分)

　　 2. 质量为 $m$ 的粒子处在一维谐振子势 $V_0(x)=\frac{{\alpha }^4{x}^2}{2m}$ 的基态，波函数函数为 $$varph{i}_0(x)={\left(\frac{\alpha }{\pi }\right)}^{1/4}{e}^{-\frac{\alpha x^2}{2}},$$ 若势能 $V_0(x)$ 突然变为 $V_1(x)=\frac{{\beta }^4{x}^2}{2m}$，问在某后任意时刻，粒子处在基态的几率。若势能是非常缓慢地从 $V_0(x)$ 变为 $V_1(x)$，结果如何？(20 分)

　　 3. 分析、讨论或求解粒子在势阱 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty },& x<0;\\ \\ \\ frac12m{\omega }^2{x}^2,& x\ge 0\end{array},$$ 中的能量。(20 分) 中运动的能级（20 分）

　　 4. 设体系处在
( w = c_1 I_1 + c_2 I_2 ) 状态，求

　　 (1)
( I_1 ) 的可能测值及平均值；

　　 (2)
( I_2 ) 的可能测值及相应几率；

　　 (3)
( I_1 ) 的可能测值及相应几率。(20 分)

　　 5. 对于一维谐振子，取基态试探波函数形状为 $(e^{-\lambda x^2})$，$(\lambda )$ 为参数。用变分法来 估定基态能量和波函数，并与严格解比较。(20 分)