华东师范大学 2015 年 考研 量子力学

                     

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1. 选择题

1. 对于库仑势形式的中心力场，动能、势能平均值之间应有如下关系 $A)\overrightarrow{T}=-\overrightarrow{V};B)\overrightarrow{T}=-2\overrightarrow{V};C)\overrightarrow{V}=\overrightarrow{T};D)\overrightarrow{V}=-2\overrightarrow{T}$
2. 若 $a^{†}$ 和 $a$ 分别是谐振子的升降算符，变换 $e^{\lambda a^{†}}a{e}^{-\lambda a^{†}}$ 的计算结果是（$\lambda$ 为常数）： A) $a+\lambda$；B) $a-\lambda$；C) $a{e}^{\lambda }$；D) $a{e}^{-\lambda }$。
3. 下列哪种物理实验或现象与自旋无关?
   A)斯特恩-盖拉赫实验;C)斯塔克效应:B)精细结构:D)反常塞曼效应。
4. 考虑三个自旋为 1/2 的非全同粒子组成的体系，哈密顿量为 $$\hat{H}=A{\overrightarrow{S}}_1\cdot {\overrightarrow{S}}_2+B({\overrightarrow{S}}_1+{\overrightarrow{S}}_2)\cdot {\overrightarrow{S}}_3$$(A 和 B 为两个实常数) 问下列哪个不属于该体系的能量本征值？
   A) $(\frac{A}{4}-\frac{B}{2}){\hslash }^{2}B(\frac{A}{4}+\frac{B}{2}){\hslash }^2$
   C) $(\frac{A}{4}-B){\hslash }^{2}D)-\frac{3}{4}A{\hslash }^2$
5. 三个全同电子处于一个圆频率为 $\omega$ 的一维谐振子势场中，忽略它们之间的相互作用。假设任一电子所处的本征波函数为 ${\psi }_{n\sigma }={\phi }_n(x){\chi }_{\sigma }$，其中 ${\phi }_n(x)$ 表示一维谐振子的本征态（$n=0,1,2,3$,...），${\chi }_{\sigma }$ 表示电子自旋 $z$ 分量 $s_z$ 的本征态，$\sigma =\pm \frac{1}{2}$。该系统的基态能量是：
   A) $\frac{3}{2}\hslash \omega B)2\hslash \omega$
   C) $\frac{5}{2}\hslash \omega D)3\hslash \omega$

2. (本题 22 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子处于一维势场 $$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty }& x\ge a\\ \\ 0& 0<x<a\\ \\ \mathrm{\infty }& x=0\\ \\ 0& -a<x<0\\ \\ \mathrm{\infty }& x\le -a\\ \\ \end{array}$$ 中，求其定态本征能量与本征波函数。

3. (本题 20 分)

　　 两个质量同为 $m$ 的一维谐振子，限制在 $x$ 轴上运动，圆频率均为 $\omega$，振子之间的耦合作用势为 $\lambda m{\omega }^2(x_1-x_2{)}^2$，这里 $\lambda$ 为一正常数。两个振子的平衡位置分别位于 $a$ 和 $-a$ 处。求该体系的本征能量。

4. (本题 20 分)

　　 在一个电子所处的状态中，${\hat{S}}_z$ 取 $\hslash /2$ 的概率为 $1/3$，${\hat{S}}_z$ 取 $-\hslash /2$ 的概率为 $1/6$，且 ${\hat{S}}_z$ 的平均值小于零。问：${\hat{S}}_z$ 取 $\hslash /2$ 的概率是多少？

5. (本题 20 分)

　　 中子 $n$ 和反中子 $\overline{n}$ 的质量都是 $m$，它们的态 $|n⟩$ 和 $|\overline{n}⟩$ 可看成是一个自由哈密顿量 ${\hat{H}}_0$ 的简并态：

　　 $${\hat{H}}_0|n⟩=m{c}^2|n⟩,{\hat{H}}_0|\overline{n}⟩=m{c}^2|\overline{n}⟩$$

　　 设有某种相互作用作用 ${\hat{H}}^{\prime }$ 能使中子和反中子互相转换：

　　 $${\hat{H}}^{\prime }|n⟩=\alpha |\overline{n}⟩,{\hat{H}}^{\prime }|\overline{n}⟩=\alpha |n⟩$$

　　 其中 $\alpha$ 是实数。试求 $t=0$ 时刻的一个中子在 $t$ 时刻转变成反中子的几率。

　　 提示：此时系统的哈密顿量为 $\hat{H}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}^{\prime }$。

6. (本题 20 分)

　　 质量为 $m$ 的粒子在势场下$$V(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\infty }& x<0\\ \\ Cx& x\ge 0\end{array}(C>0)$$中运动， 用变分法估算粒子的基态能量。试探波函数取 $\psi (\mathbf{x})=Ax{e}^{-\lambda x}$ $\lambda$ 为变分参数。