华东师范大学 2013 年 考研 量子力学
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1. 简答题(每小题 7 分,共 56 分)
- 为什么波函数 ,必定是复函数?
- 试叙述量子力学基本假设一测量共设的要点。
- 和 是否代表同一个量子态?并说明为什么,其 是实函数。
- 力学量之间的对易关系是否具有传递性?即:如果 与 对易, 与 对易成立,是否必有 与 对易成立?试用举例来证明你的结论。
- 两个有限深方势阱深度相同,但宽度不同,与窄的势阱哪一个束缚态的个数多?为什么?
现有三种系统,其能级与其量子数 ,的关系分别是正比于 以及与 满足线性关系,请举例指出它们对应的分别可能是什么系统?
- 什么是反常 Zeeman 效应?产生该效应的根源是什么?
- 证明 ,其中 表示 Pauli 矩阵, 为单位向量。
2. (本题 16 分)
已知某微观体系的力学量 有两个归一化本征态 和 ,相应的本征值为 和 。力学量 也有两个归一化本征态 和 ,相应的本征值为 和 。两种本征态之间存在如下关系:
当对某个态测量 后得到 ,然后再测量 ,接着再测量 ,试求第二次测量 仍然得到 的几率。
3. (本题 18 分)
一根长为 的无质量的绳子一端固定,另一端系质点 。在重力作用下,质点在整直平面内摆动
- 写出质点运动的量子体系哈密顿量
- 在小角近似下求系统的能级。
4.【本题 20 分)
一个一维谐振子圆频率为 ,处在相干态 上,其中 是该谐振子湮灭算符的本征态,
是复数,试求出该谐振子的以下两个量
- 平均能量
- 能量均方差
5. (本题 20 分)
设有一电子对置于沿 方向的均匀恒定磁场 中,自旋系统的哈密顿量为
。设初始时刻该电子对的两个电子自旋均沿 轴方向,但方向相反,且处于自旋三重态,求此后任意时刻该电子对的自旋态
6. (本题 20 分)
两个粒子被束缚在一个边长为 的长方体盒子中运动,粒子间的相互作用势能为 可以作为微扰,其中 ,和 分别为两个粒子的位置, 为实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量,要求准确至 的一次方,
- 两个粒子为自旋为零的全同玻色子:
- 两个粒子为自旋为 的全同费米子,且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为 1)。