华东师范大学 2013 年 考研 量子力学

                     

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1. 简答题(每小题 7 分,共 56 分)

  1. 为什么波函数 ψ,必定是复函数?
  2. 试叙述量子力学基本假设一测量共设的要点。
  3. ψ(x,t)eiθψ(x,t) 是否代表同一个量子态?并说明为什么,其 ϕ(z) 是实函数。
  4. 力学量之间的对易关系是否具有传递性?即:如果 AB 对易,BC 对易成立,是否必有 AC 对易成立?试用举例来证明你的结论。
  5. 两个有限深方势阱深度相同,但宽度不同,与窄的势阱哪一个束缚态的个数多?为什么? 现有三种系统,其能级与其量子数 n,的关系分别是正比于 n2,n2 以及与 n 满足线性关系,请举例指出它们对应的分别可能是什么系统?
  6. 什么是反常 Zeeman 效应?产生该效应的根源是什么?
  7. 证明 exp(iθσ)=cosθ+isinθ(nσ),其中 σ=(σx,σy,σz) 表示 Pauli 矩阵,n 为单位向量。

2. (本题 16 分)

   已知某微观体系的力学量 A 有两个归一化本征态 ψ1ψ2,相应的本征值为 a1a2。力学量 B 也有两个归一化本征态 ϕ1ϕ2,相应的本征值为 b1b2。两种本征态之间存在如下关系: ψ1=3ϕ1+4iϕ25,ψ2=4ϕ13iϕ25  当对某个态测量 A 后得到 a1,然后再测量 B,接着再测量 A,试求第二次测量 A 仍然得到 a1 的几率。

3. (本题 18 分)

   一根长为 l 的无质量的绳子一端固定,另一端系质点 m。在重力作用下,质点在整直平面内摆动

  1. 写出质点运动的量子体系哈密顿量
  2. 在小角近似下求系统的能级。

4.【本题 20 分)

   一个一维谐振子圆频率为 ω,处在相干态 |z 上,其中 |z 是该谐振子湮灭算符的本征态, a|z=z|z  z 是复数,试求出该谐振子的以下两个量

  1. 平均能量
  2. 能量均方差

5. (本题 20 分)

   设有一电子对置于沿 x 方向的均匀恒定磁场 B 中,自旋系统的哈密顿量为 H=eBmcSz=eBmc(s1z+s2z)=eB2mc(σ1z+σ2z) 。设初始时刻该电子对的两个电子自旋均沿 z 轴方向,但方向相反,且处于自旋三重态,求此后任意时刻该电子对的自旋态 |ψ(t)=?

6. (本题 20 分)

   两个粒子被束缚在一个边长为 a>b>c 的长方体盒子中运动,粒子间的相互作用势能为 V(r1,r2)=Aδ(r1r2) 可以作为微扰,其中 r1,和 r2 分别为两个粒子的位置,A 为实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量,要求准确至 A 的一次方,

  1. 两个粒子为自旋为零的全同玻色子:
  2. 两个粒子为自旋为 1/2 的全同费米子,且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为 1)。

                     

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