华东师范大学 2007 年 考研 量子力学

                     

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1. 一、(每小题 6 分，共 30 分)简要回答下列问题

1. 薛定谔方程是否由其它原理推导出来的?它是否适用于相对论性粒子?
2. 厄密算符具有那些特性?为什么猫写力学量的算特必须要求是厄密算符?
3. 力学量之间的对易关系是否具有传递性?即如 $A$ 与 $B$ 对易，且 $B$ 与 $C$ 对易，是否必有 $A$ 与 $C$ 对易?简单举例说明你的判断.
4. $a^{\prime },a$ 分别是谐振子升降算符，$\lambda$ 是常数，试计算:$[a,e^{\lambda a^{+}}]=?$
5. 简述斯特恩-盖拉赫(Stern-Gerlach)实验的实验现象，通过该实验有什么发现?

2. 二、(10 分)

　　 证明:对一个质量为 $m$ 的粒子，有下式成立: $$\frac{d}{dt}\overline{x^2}=\frac{1}{m}\overline{(x{\hat{p}}_x+{\hat{p}}_{x}x)}$$

3. 三、(10 分)

　　 已知一量子体系，只有两个互相正交的归一化能量本征态 $|1⟩$ 和 $|2⟩$，若有某一可观测力学量算符 $\hat{R}$，在 $|1⟩$ 态下的几个平均值为： $$⟨1|\hat{R}|1⟩=1,⟨1|{\hat{R}}^2|1⟩=\frac{5}{4},⟨1|{\hat{R}}^3|1⟩=\frac{7}{4}$$ 试求定 $\hat{R}$ 的本征值。

4.（15 分）

　　 假设某原子中有两个价电子，同处于 $E_{nl}$ 上。按 LS 耦合方案， $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{l_1}+\overrightarrow{l_2},\overrightarrow{S}=\overrightarrow{s_1}+\overrightarrow{s_2},\overrightarrow{J}=\overrightarrow{L}+\overrightarrow{S}.$ 其中 $\overrightarrow{l_1},\overrightarrow{l_2},\overrightarrow{s_1},\overrightarrow{s_2}$ 分别为两个电子的轨道角动量算符和自旋算符。 讨论 $L,S,J$ 的可能取值，并证明 $L+S$ 必为偶数。

5. (15 分)

　　 某体系的哈密顿算符为} $\hat{H}=K{\hat{I}}^2+\omega {\hat{I}}_z+\lambda {\hat{I}}_y$, 其中 $K,\omega ,\lambda$ 为正实数，而最后一项可视为微扰项，即 $\lambda \ll \omega ,hK.\hat{I}$ 为角动量的失量算符。用微扰方法计算能级（至二级近似，不考虑偶然简并 $${\hat{I}}_x{Y}_{lm}=\hslash \sqrt{l(l+1)-m(m\pm 1)}{Y}_{lm\pm 1},{\hat{I}}_x={\hat{I}}_x\pm i{\hat{I}}_y$$