李代数的复化
贡献者： 叶月2_
对于李群 $G$，我们已经知道，李代数 $\mathfrak g\equiv \operatorname {Lie} G$ 是李群上的全体左不变切场，该线性空间一定得定义在实数域上，才能导出在该李群的积分曲线。比如设 $X\in \mathfrak g$ 的积分曲线为 $c(t)$，则对于任意 $s\in \mathbb R$，$sX$ 的积分曲线是 $c(st)$，相当于把原积分曲线重新参数化。再以 $SU(2)$ 群为例，李代数 $\mathfrak{su}(2)$ 由全体二阶无迹反厄米矩阵构成。因此对于任意 $X\in \mathfrak{su}(2)$，$ \mathrm{i} X\notin \mathfrak{su}(2)$。
然而这不意味着将李代数复化是没有意义的，即便并非在该群的李代数集合内，却有可能是其他李群的李代数。
定义 1
若 $\mathfrak g$ 是实数域上的李代数，我们可以将其扩展到复数域上。定义一个新的向量空间为
\begin{equation}
\mathfrak g+ \mathrm{i} \mathfrak g=\{X+ \mathrm{i} Y|X\,,Y\in\mathfrak g\}~.
\end{equation}
可以验证李括号运算在其上封闭，且李括号依然有双线性和结合性。所以这也是一个李代数，称为 $\mathfrak g$ 的复化（complification）。
例 1 $\mathfrak u(n)$ 的复化
类似于 $ \operatorname {Lie}GL(n,\mathbb R)\cong \mathfrak{gl}(n,\mathbb R)$ 的证明，易证 $ \operatorname {Lie}GL(n,\mathbb C)\cong \mathfrak{gl}(n,\mathbb C)$。下面主要证明这个复数版本的李代数恰为 $\mathfrak u(n)$ 的复化，简单表示为 $\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)=\mathfrak u(n)+ \mathrm{i} \mathfrak u(n)$。
证明：
$\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)$ 由 $n$ 阶复数矩阵构成，$\mathfrak u(n)$ 则由 $n$ 阶反厄米矩阵构成。因此显然 $\mathfrak{gl}(n,\mathbb C)\supseteq \mathfrak u(n)+ \mathrm{i} \mathfrak u(n)$。现设对于任意 $A\in \mathfrak gl(n,\mathbb C)$，都有 $A=B+ \mathrm{i} C$，其中 $B,C\in \mathfrak u(n)$。则 $A^{\dagger}=-B+ \mathrm{i} C$。因此
\begin{equation}
\begin{aligned}
B&=\frac{A-A^{\dagger}}{2}\\
C&= \frac{A+A^{\dagger}}{2 \mathrm{i} }~.
\end{aligned}
\end{equation}
由于 $B=-B^{\dagger},C=-C^{\dagger}$，所以假设成立，并且这种分解是唯一的。
例 2 $\mathfrak {su}(n)$ 的复化
$\mathfrak {su}(n)$ 的复化版本是 $\mathfrak sl(n,\mathbb C)$，简单表示为 $\mathfrak sl(n,\mathbb C)=\mathfrak {su}(n)+ \mathrm{i} \mathfrak {su}(n)$。
证明：
$\mathfrak sl(n,\mathbb C)$ 为无迹的 $n$ 阶复数矩阵，$\mathfrak {su}(n)$ 为无迹的 $n$ 阶反厄米矩阵。由于无迹性不随复化而丧失，因此 $\mathfrak sl(n,\mathbb C)\supseteq \mathfrak {su}(n)+ \mathrm{i} \mathfrak {su}(n)$。剩余证明过程类似上个例子。