乘积法则（综述）

                     

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图
图 1：乘积法则证明的几何图示 \(^\text{[1]}\)

　　 在微积分中，乘积法则（或称莱布尼茨法则 \(^\text{[2]}\)、莱布尼茨乘积法则）是一个用于求两个或多个函数乘积的导数的公式。对于两个函数，可以用拉格朗日记号表示为： $$ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v',~ $$ 或用莱布尼茨记号表示为： $$ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}.~ $$ 该法则可以推广到三个或更多函数的乘积，推广到乘积的高阶导数规则，以及其他语境中。

1. 发现

　　 这一法则的发现通常归功于 戈特弗里德·莱布尼茨，他使用 “无穷小”（现代微分的前身）进行了论证。\(^\text{[3]}\)（然而，莱布尼茨论文的译者 J. M. Child\(^\text{[4]}\) 认为应归功于艾萨克·巴罗。）以下是莱布尼茨的推理：\(^\text{[5]}\) 设 $u$ 和 $v$ 是函数。则 $d(uv)$ 等于两个相继 $uv$ 之差；其中一个是 $uv$，另一个是 $(u+du)(v+dv)$。于是： $$ d(u \cdot v) = (u+du)\cdot(v+dv) - u\cdot v = u \cdot dv + v \cdot du + du \cdot dv.~ $$ 由于项 $du \cdot dv$ 相较于 $du$ 和 $dv$ 是 “可忽略的”，莱布尼茨得出结论： $$ d(u \cdot v) = v \cdot du + u \cdot dv,~ $$ 这确实就是乘积法则的微分形式。

　　 如果两边同时除以微分 $dx$，就得到： $$ \frac{d}{dx}(u \cdot v) = v \cdot \frac{du}{dx} + u \cdot \frac{dv}{dx},~ $$ 这同样可以用拉格朗日记号写作： $$ (u \cdot v)' = v \cdot u' + u \cdot v'.~ $$

最初的证明

　　 莱布尼茨和牛顿都给出了乘积法则的证明，但以现代标准来看并不严格。 莱布尼茨借助 “无穷小量” 进行推理，把积解释为矩形的面积；而牛顿则使用 “流动量” 的概念进行推理。\(^\text{[6][7]}\)

2. 例子

3. 证明

导数的极限定义

　　 设 $h(x) = f(x)g(x)$，并且假设 $f$ 和 $g$ 在 $x$ 处可导。我们要证明 $h$ 在 $x$ 处也可导，且其导数为 $h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.为此，在分子中加上并减去一项 $f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x)$（其值为零，因此不改变原式），从而可以因式分解，然后利用极限的性质来处理。 $$ \begin{aligned} h'(x) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x} \\[6pt] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x} \\[6pt] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x+\Delta x) + f(x)g(x+\Delta x) - f(x)g(x)}{\Delta x} \\[6pt] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\big(f(x+\Delta x)-f(x)\big)\cdot g(x+\Delta x) + f(x)\cdot \big(g(x+\Delta x)-g(x)\big)}{\Delta x} \\[6pt] &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) \\ &\quad + \lim_{\Delta x \to 0} f(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x} \\[6pt] &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \end{aligned}~ $$ 其中 $\lim_{\Delta x \to 0} g(x+\Delta x) = g(x)$ 是因为可导函数必定连续。

线性近似

　　 根据定义，如果 $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 在 $x$ 处可导，则我们可以写成线性近似式： $$ f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \varepsilon_{1}(h),~ $$ $$ g(x+h) = g(x) + g'(x)h + \varepsilon_{2}(h),~ $$ 其中误差项相对于 $h$ 是高阶无穷小： $$ \lim_{h\to 0}\frac{\varepsilon_{1}(h)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\varepsilon_{2}(h)}{h} = 0,~ $$ 也记作 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} \sim o(h)$。

　　 于是： $$ \begin{aligned} f(x+h)g(x+h) - f(x)g(x) &= \big(f(x) + f'(x)h + \varepsilon_{1}(h)\big)\big(g(x) + g'(x)h + \varepsilon_{2}(h)\big) - f(x)g(x) \\[6pt] &= f(x)g(x) + f'(x)g(x)h + f(x)g'(x)h - f(x)g(x) + \text{误差项} \\[6pt] &= f'(x)g(x)h + f(x)g'(x)h + o(h). \end{aligned}~ $$ 这里的 “误差项” 包括诸如 $$ f(x)\varepsilon_{2}(h), \quad f'(x)g'(x)h^{2}, \quad h f'(x)\varepsilon_{1}(h),~ $$ 这些量显然都是 $o(h)$ 级别的。两边同时除以 $h$，再令 $h \to 0$，即可得到结果：$(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.

四分平方法

　　 这个证明利用了链式法则和四分平方函数 $q(x) = \tfrac{1}{4}x^{2}, \quad q'(x) = \tfrac{1}{2}x$ 我们有： $$ uv = q(u+v) - q(u-v),~ $$ 对两边同时求导： $$ \begin{aligned} f' &= q'(u+v)(u' + v') - q'(u-v)(u' - v') \\[6pt] &= \tfrac{1}{2}(u+v)(u' + v') - \tfrac{1}{2}(u-v)(u' - v') \\[6pt] &= \tfrac{1}{2}(uu' + vu' + uv' + vv') - \tfrac{1}{2}(uu' - vu' - uv' + vv') \\[6pt] &= vu' + uv'. \end{aligned}~ $$

多变量链式法则

　　 乘积法则可以看作是多元链式法则在乘法函数 $m(u, v) = uv$ 上的一种特殊情况： $$ \frac{d(uv)}{dx} = \frac{\partial (uv)}{\partial u}\frac{du}{dx} + \frac{\partial (uv)}{\partial v}\frac{dv}{dx} = v\frac{du}{dx} + u\frac{dv}{dx}.~ $$

非标准分析

　　 设 $u$ 和 $v$ 是关于 $x$ 的连续函数，并且 $dx, du, dv$ 是非标准分析框架下（具体来说是超实数体系中的）无穷小。记 $\mathrm{st}$ 为标准部函数，它将有限超实数映射为与之无限接近的实数。于是有： $$ \begin{aligned} \frac{d(uv)}{dx} &= \operatorname{st}\!\left(\frac{(u+du)(v+dv)-uv}{dx}\right)\\ &= \operatorname{st}\!\left(\frac{uv+u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv - uv}{dx}\right)\\ &= \operatorname{st}\!\left(\frac{u\cdot dv+v\cdot du+du\cdot dv}{dx}\right)\\ &= \operatorname{st}\!\left(u\frac{dv}{dx}+(v+dv)\frac{du}{dx}\right)\\ &= u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}. \end{aligned}~ $$ 这实际上就是莱布尼茨当时的证明方式，本质上依赖于同类项超越法则，只不过这里用的是 “标准部” 函数来代替。

光滑无穷小分析

　　 在 Lawvere 的无穷小方法框架下，设 $dx$ 是一个平方为零的无穷小量。于是有 $du = u'\,dx, \quad dv = v'\,dx$,因此： $$ \begin{aligned} d(uv) &= (u+du)(v+dv) - uv \\ &= uv + u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv - uv \\ &= u\cdot dv + v\cdot du + du\cdot dv \\ &= u\cdot dv + v\cdot du \end{aligned}~ $$ 因为 $du\,dv = u'v'(dx)^2 = 0$.再除以 $dx$，得到：$\frac{d(uv)}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$,或者等价地：$(uv)' = u\cdot v' + v\cdot u'$.

对数微分法

　　 设 $h(x) = f(x)g(x)$.对等式两边取绝对值并取自然对数： $$ \ln |h(x)| = \ln |f(x)g(x)|.~ $$ 利用绝对值和对数的性质： $$ \ln |h(x)| = \ln |f(x)| + \ln |g(x)|.~ $$ 接着对等式两边取对数导数，然后解出 $h'(x)$： $$ \frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}.~ $$ 再解出 $h'(x)$，并将 $h(x)=f(x)g(x)$ 代回： $$ \begin{aligned} h'(x) &= h(x)\left(\frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}\right) \\ &= f(x)g(x)\left(\frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{g'(x)}{g(x)}\right) \\ &= f'(x)g(x) + f(x)g'(x). \end{aligned}~ $$ 注意：在对数微分时必须对函数取绝对值，因为对数函数 $\ln u$ 仅在 $u > 0$ 时为实值。但这仍然成立，因为 $\frac{d}{dx}(\ln |u|) = \frac{u'}{u}$,这就合理化了对函数取绝对值的步骤。

4. 推广

多个因子的乘积

　　 乘积法则可以推广到两个以上因子的情形。例如，对三个因子有： $$ \frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}.~ $$ 对于函数族 $f_{1}, \dots , f_{k}$，有： $$ \frac{d}{dx}\left[\prod_{i=1}^{k} f_{i}(x)\right] = \sum_{i=1}^{k}\left(\left(\frac{d}{dx}f_{i}(x)\right)\prod_{j=1, j\neq i}^{k} f_{j}(x)\right) = \left(\prod_{i=1}^{k} f_{i}(x)\right)\left(\sum_{i=1}^{k}\frac{f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}\right).~ $$ 对数导数能给出更简洁的形式，并且提供一种不涉及递归的直接证明。函数 $f$ 的对数导数（记作 $\operatorname{Logder}(f)$）定义为该函数对数的导数： $$ \operatorname{Logder}(f) = \frac{f'}{f}.~ $$ 利用 “乘积的对数等于因子对数的和” 这一性质，结合导数的和法则，可以直接得到： $$ \operatorname{Logder}(f_{1}\cdots f_{k}) = \sum_{i=1}^{k}\operatorname{Logder}(f_{i}).~ $$ 将等式两边同时乘以 $\prod_{i=1}^{k} f_{i}$，就得到了上面关于乘积求导的表达式。

高阶导数

　　 乘积法则也可以推广为两个因子乘积的 n 阶导数的一般莱布尼茨公式，其形式可由二项式定理展开得到： $$ d^{n}(uv) = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot d^{(n-k)}(u) \cdot d^{(k)}(v).~ $$ 应用于某一点 $x$，上式可写为： $$ (uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} \cdot u^{(n-k)}(x) \cdot v^{(k)}(x).~ $$ 此外，对于任意多个因子的乘积的 n 阶导数，有类似的公式，不过需要用到多项式系数： $$ \left(\prod_{i=1}^{k} f_{i}\right)^{(n)} = \sum_{j_{1}+j_{2}+\cdots+j_{k}=n} {n \choose j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{k}} \prod_{i=1}^{k} f_{i}^{(j_{i})}.~ $$ 这里，${n \choose j_{1}, j_{2}, \ldots, j_{k}}$ 表示多项式系数。

高阶偏导数

　　 对于偏导数，我们有【8】： $$ \frac{\partial^{n}}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}(uv) = \sum_{S} \frac{\partial^{|S|}u}{\prod_{i\in S}\partial x_{i}} \cdot \frac{\partial^{\,n-|S|}v}{\prod_{i\notin S}\partial x_{i}}~ $$ 其中，指标 $S$ 遍历集合 $\{1,\ldots,n\}$ 的所有 $2^n$ 个子集，$|S|$ 表示子集的基数。

　　 例如，当 $n=3$ 时： $$ \begin{aligned} \frac{\partial^{3}}{\partial x_{1}\partial x_{2}\partial x_{3}}(uv) ={}& u \cdot \frac{\partial^{3}v}{\partial x_{1}\partial x_{2}\partial x_{3}} + \frac{\partial u}{\partial x_{1}} \cdot \frac{\partial^{2}v}{\partial x_{2}\partial x_{3}} + \frac{\partial u}{\partial x_{2}} \cdot \frac{\partial^{2}v}{\partial x_{1}\partial x_{3}} + \frac{\partial u}{\partial x_{3}} \cdot \frac{\partial^{2}v}{\partial x_{1}\partial x_{2}} \\ &+ \frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{2}} \cdot \frac{\partial v}{\partial x_{3}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial x_{1}\partial x_{3}} \cdot \frac{\partial v}{\partial x_{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial x_{2}\partial x_{3}} \cdot \frac{\partial v}{\partial x_{1}} + \frac{\partial^{3}u}{\partial x_{1}\partial x_{2}\partial x_{3}} \cdot v. \end{aligned}~ $$

巴拿赫空间

　　 假设 $X, Y, Z$ 是巴拿赫空间（其中也包括欧几里得空间），并且 $B : X \times Y \to Z$ 是一个连续双线性算子。那么 $B$ 是可微的，并且它在点 $(x, y)\in X \times Y$ 的导数是一个线性映射 $D_{(x,y)}B : X \times Y \to Z$，其形式为： $$ \bigl(D_{(x,y)}B\bigr)(u,v) = B(u,y) + B(x,v) \quad \forall (u,v)\in X\times Y.~ $$ 这一结果可以推广 \(^\text{[9]}\) 到更一般的拓扑向量空间。

在向量分析中

　　 乘积法则可以扩展到 $\mathbb{R}^n$ 上向量函数的各种乘积运算：\(^\text{[10]}\)

　　 若 $f$ 和 $g$ 是标量场，那么在梯度（gradient）意义下也存在一个乘积法则： $$ \nabla(f \cdot g) = (\nabla f)\, g + f \, (\nabla g)~ $$ 这样的法则对任何连续双线性乘积运算都成立。设 $B : X \times Y \to Z$ 是向量空间之间的一个连续双线性映射，且 $f$ 和 $g$ 分别是到 $X$ 和 $Y$ 的可微函数。利用导数的极限定义时，乘法所使用的唯一性质就是它的连续性和双线性。因此，对于任何连续双线性运算，都有： $$ H(f,g)' = H(f', g) + H(f, g').~ $$ 这也是 Banach 空间中关于双线性映射乘积法则的一个特例。

抽象代数与微分几何中的导子

　　 在抽象代数中，乘积法则是 “导子” 的定义性质。在这种术语下，乘积法则表明导数算子是函数上的一个导子。

　　 在微分几何中，流形 $M$ 上一点 $p$ 的切向量可以抽象地定义为一个作用在实值函数上的算子，其行为类似于在 $p$ 点的方向导数。换句话说，切向量是一个线性泛函 $v$，并且它满足导子性质： $$ v(fg) = v(f)\, g(p) + f(p)\, v(g).~ $$ 进一步推广（并对偶化）向量分析的公式到 $n$ 维流形 $M$，我们可以取次数为 $k$ 和 $\ell$ 的微分形式 $\alpha \in \Omega^k(M)$，$\beta \in \Omega^\ell(M)$，它们之间有外积运算： $$ \alpha \wedge \beta \in \Omega^{k+\ell}(M),~ $$ 以及外微分算子： $$ d : \Omega^m(M) \to \Omega^{m+1}(M).~ $$ 此时，成立分次 Leibniz 法则： $$ d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge d\beta.~ $$

5. 应用

　　 乘积法则的一个应用是证明： $$ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}~ $$ 当 $n$ 是正整数时成立。（事实上，该法则在 $n$ 不是正数甚至不是整数时依然成立，但那时的证明必须依赖其他方法。）证明方法是对指数 $n$ 使用数学归纳法。基例：若 $n=0$，则 $x^n$ 是常数，而 $n x^{n-1} = 0$。在此情况下，法则成立，因为常函数的导数为 0。归纳步骤：假设该法则对某个特定的指数 $n$ 成立，则对下一个指数 $n+1$，有： $$ \begin{aligned} \frac{d}{dx} x^{n+1} &= \frac{d}{dx}(x^n \cdot x) \\ &= x \frac{d}{dx} x^n + x^n \frac{d}{dx} x \quad (\text{此处用到了乘积法则})\\ &= x \left( n x^{n-1} \right) + x^n \cdot 1 \quad (\text{此处用了归纳假设})\\ &= (n+1) x^n.~ \end{aligned}~ $$ 因此，如果该命题对 $n$ 成立，那么它对 $n+1$ 也成立，从而对所有自然数 $n$ 都成立。

6. 参见

7. 参考文献

  1. 注：这是自 17 世纪以来常见的一幅图，与 James Stewart《Calculus: Early Transcendentals》第 7 版第 185 页 “乘积法则的几何意义” 一节中的插图基本相同。
  2. “Leibniz rule – 《数学百科全书》”。
  3. Michelle Cirillo（2007 年 8 月），“Humanizing Calculus”，The Mathematics Teacher，第 101 卷（第 1 期）：23–27。doi:10.5951/MT.101.1.0023。
  4. Leibniz, G. W. (2005) [1920], The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz (PDF)，J.M. Child 翻译，Dover 出版，第 28 页，脚注 58，ISBN 978-0-486-44596-0。
  5. Leibniz, G. W. (2005) [1920], The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz (PDF)，J.M. Child 翻译，Dover 出版，第 143 页，ISBN 978-0-486-44596-0。
  6. Eugene Boman, and Robert Rogers. Real Analysis [在线教材] [https://math.libretexts.org/Bookshelves/Analysis/Real_Analysis_(Boman_and_Rogers)/02%3A_Calculus_in_the_17th_and_18th_Centuries/2.01%3A_Newton_and_Leibniz_Get_Started](https://math.libretexts.org/Bookshelves/Analysis/Real_Analysis_%28Boman_and_Rogers%29/02%3A_Calculus_in_the_17th_and_18th_Centuries/2.01%3A_Newton_and_Leibniz_Get_Started)
  7. “A Story of Real Analysis” (PDF). 原始 PDF 于 2025 年 3 月 11 日存档。
  8. Micheal Hardy（2006 年 1 月），“Combinatorics of Partial Derivatives” (PDF)，The Electronic Journal of Combinatorics，第 13 卷。arXiv\:math/0601149。Bibcode:2006math......1149H。
  9. Kriegl, Andreas; Michor, Peter (1997). The Convenient Setting of Global Analysis (PDF). American Mathematical Society，第 59 页。ISBN 0-8218-0780-3。
  10. Stewart, James (2016), Calculus（第 8 版），Cengage，第 13.2 节。

                     

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