有界变差

贡献者： lrqlrqlrq

　　有界变差（Bounded Variation）函数的总变差是有限的。这一概念是后面学习黎曼－斯蒂尔杰斯积分的关键基础。有界变差是描述实数轴上函数变化幅度的一种度量方式。

　　考虑一个实值函数 $f (x)$ ，在闭区间 $a \leq x \leq b$ 上定义并有限。我们将这个区间分成一些小区间，形成一个分割

\begin{array}{r} (1) & Γ = {x_{0}, x_{1}, \dots, x_{m}} . \end{array}

，也就是

Γ

是点

x_{i}

的集合，满足

x_{0} = a

，

x_{m} = b

，且

x_{i - 1} < x_{i}

。

　　对于每个分割 $Γ$ ，我们计算一种和 $S_{Γ}$ ，表示相邻点 $f (x_{i})$ 和 $f (x_{i - 1})$ 的绝对差的总和。也就是，

\begin{array}{r} (2) & S_{Γ} = S_{Γ} [f; a, b] = \sum_{i = 1}^{m} | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | . \end{array}

函数

f

在

[a, b]

上的变差定义为

\begin{array}{r} (3) & V = V [f; a, b] = sup_{Γ} S_{Γ}, \end{array}

其中

sup

取遍

[a, b]

的所有分割

Γ

。由于

0 \leq S_{Γ} < + \infty

，我们有

0 \leq V \leq + \infty

。如果

V

有限，那么

f

在

[a, b]

上的变差有界；如果

V

是无穷大，那么

f

在

[a, b]

上的变差无界。

　　下面列举几个简单有界变差函数的例子：

　　 例子 1：假设 $f$ 在 $[a, b]$ 上单调。那么，显然，每个 $S_{τ}$ 都等于 $| f (b) - f (a) |$ ，因此 $V = | f (b) - f (a) |$ 。

　　证明：设 $x_{i} : 1 \leq i \leq n$ 是 $[a, b]$ 的一个分割。考虑

\begin{array}{r} (4) & \sum_{i = 1}^{n} | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | = \sum_{i = 1}^{n} (f (x_{i}) - f (x_{i - 1})) = f (b) - f (a) . \end{array}

　　由于这个和的抵消性质，它对 $[a, b]$ 的任何分割都是相同的。因此我们可以看到 $V (f, [a, b]) = f (b) - f (a) < \infty$ 。因此 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界变差的。

　　类似地，如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上是递减的，则 $V (f, [a, b]) = f (a) - f (b)$ 。

　　 例子 2：假设 $f$ 的图形可以分为有限数量的单调弧段；即假设 $[a, b] = ⋃_{i = 1}^{k} [a_{i} a_{i + 1}]$ ，并且 $f$ 在每个 $[a_{i} a_{i + 1}]$ 上是单调的。那么 $V = \sum_{i = 1}^{k} | f (a_{i + 1}) - f (a_{i}) |$ 。

　　 例子 3：设 $f$ 是狄利克雷函数，定义为 $f (x) = 1$ 对于有理数 $x$ ， $f (x) = 0$ 对于无理数 $x$ 。那么，显然，对于任何区间 $[a, b]$ ， $V [a, b] = + \infty$ 。

　　证明：设 $n \in Z$ ， $n > 0$ 。设 $[a, b]$ 是 $R$ 中的闭区间。我们构造一个分割 $P = x_{0}, x_{1}, . . ., x_{n + 2}$ ，使得 $V (f, [a, b]) \geq \sum_{i = 1}^{n + 2} | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | > n$ ，具体步骤如下。根据定义， $x_{0} = a$ 。由下面定理：

定理 1　在任意两个不同的实数之间，存在一个有理数和一个无理数。

　　可取 $x_{1}$ 为介于 $a$ 和 $b$ 之间的一个无理数。然后取 $x_{2}$ 为介于 $x_{1}$ 和 $b$ 之间的一个有理数。以此类推，取 $x_{2 i + 1}$ 为介于 $x_{2 i}$ 和 $b$ 之间的一个无理数，取 $x_{3 i}$ 为介于 $x_{2 i - 1}$ 和 $b$ 之间的一个有理数。最后， $x_{n + 2} = b$ 。因此，我们已经创建了一个从 $a$ 开始并且在有理数和无理数之间交替的分割，直到最后以 $b$ 结束。现在考虑和 $\sum_{i = 1}^{n + 2} | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) |$ ，我们知道它至多等于 $f$ 在 $[a, b]$ 上的变差。因此：

\begin{aligned} (5) & V (f, [a, b]) & \geq \sum_{i = 1}^{n + 2} | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | \\ (6) & \geq \sum_{i = 2}^{n + 1} | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | \\ (7) & = | f (x_{2}) - f (x_{1}) | + \dots + | f (x_{n + 1}) - f (x_{n}) | \\ (8) & = | 1 - 0 | + | 0 - 1 | + \dots + | 1 - 0 | \\ (9) & = 1 + 1 + 1 + \dots + 1 = n . \end{aligned}

因此

V (f, [a, b])

是任意大的，因此

V (f, [a, b]) = \infty

。

　　 例子 4：定义在 $[a, b]$ 上的函数 $f$ 被称为在 $[a, b]$ 上满足 Lipschitz 条件，如果存在常数 $C$ 使得

\begin{array}{r} (10) & | f (x) - f (y) | \leq C | x - y |, \forall x, y \in [a, b] . \end{array}

这样的函数显然是有界变差的，

V [f; a, b] \leq C (b - a)

。例如，如果

f

在

[a, b]

上有连续的导数，那么（根据中值定理）

f

在

[a, b]

上满足 Lipschitz 条件。

例 1　设 $f (x) = x \sin (1 / x)$ 为 $0 < x \leq 1$ 且 $f (0) = 0$ 。证明 $f$ 在 $[0, 1]$ 上有界且连续，但不是有界变差 $V [f; 0, 1] = + \infty$ 。

　　对于 $0 < x \leq 1$ ，我们知道 $- 1 \leq \sin (\frac{1}{x}) \leq 1$ ，因此 $- x \leq x \sin (\frac{1}{x}) \leq x$ ，在 $[0, 1]$ 上 $f (x)$ 有界。

　　考虑 $x \neq 0$ 的情况。在这种情况下， $f (x) = x \sin (1 / x)$ 是两个连续函数的乘积，其中 $x$ 是一个连续函数，而 $\sin (1 / x)$ 也是连续的。因此，它们的乘积 $f (x)$ 在 $x \neq 0$ 的情况下是连续的。在 $x = 0$ 处，有

\begin{matrix} (11) & lim_{x \to 0} f (x) = lim_{x \to 0} x \sin (\frac{1}{x}) = 0 . \end{matrix}

　　因此， $f (x)$ 在 $[0, 1]$ 上是连续的。

　　注意到分割 $Γ = {x_{n}} = {\frac{1}{n π + π / 2}}$ 我们有,

\begin{array}{r} (12) & f (x_{n}) = x_{n} \sin (1 / x_{n}) = {\begin{array}{c} x_{n} & even \\ - x_{n} & odd \end{array} for n \geq 0 . \end{array}

带入计算变差的公式

2

，可得：

\begin{aligned} (13) & \sum_{n = 1}^{m} | f (x_{n}) - f (x_{n - 1}) | & = \sum_{n = 1}^{m} | (- 1)^{n} (x_{n} + x_{n - 1}) | \\ (14) & = \sum_{n = 1}^{m} (x_{n} + x_{n - 1}) \\ (15) & = x_{m} + x_{0} + 2 \sum_{n = 1}^{m - 1} x_{n} \\ (16) & \geq \sum_{n = 1}^{m - 1} x_{n} & = \sum_{n = 1}^{m - 1} \frac{1}{n π + π / 2} . \end{aligned}

根据极限比较审敛法对比调和级数可得：

\begin{array}{r} (17) & \sum_{n = 1}^{m - 1} \frac{1}{n π + π / 2} \to \infty as m \to \infty . \end{array}

习题 1　设 $f (x) = x \cos (π / x)$ 为 $0 < x \leq 1$ 且 $f (0) = 0$ 。证明 $f$ 在 $[0, 1]$ 上有界且连续，但不是有界变差 $V [f; 0, 1] = + \infty$ 。

定理 2　

如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上的变差有界，那么 $f$ 在 $[a, b]$ 上有界。
设 $f$ 和 $g$ 在 $[a, b]$ 上的变差有界。那么对于任意实常数 $c$ ， $c f$ ， $f + g$ 和 $f g$ 在 $[a, b]$ 上的变差也有界。此外，如果存在 $ε > 0$ 使得对于 $[a, b]$ 中的 $x$ ， $| g (x) | \geq ε$ ，那么 $f / g$ 在 $[a, b]$ 上的变差也有界。

例 2　证明：

假设 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界变差的。对于任意 $x \in [a, b]$ ，考虑仅由三个点组成的分割 ${a, x, b}$ ，则：
$\begin{array}{r} (18) & | f (x) - f (a) | + | f (b) - f (x) | \leq V (f; a, b) \\ (19) & \Rightarrow | f (x) - f (a) | \leq V (f; a, b) \\ (20) & | f (x) | = | f (a) + f (x) - f (a) | \\ (21) & \leq | f (a) | + | f (x) - f (a) | \\ (22) & \leq | f (a) | + | f (f; a, b) | < \infty \\ (23) & \Rightarrow f is bounded on [a, b] . \end{array}$
设 $f$ 和 $g$ 是 $[a, b]$ 上的两个有界变差函数。对于 $[a, b]$ 的任意分割 $P$ ，我们有：
$\begin{aligned} (24) & \sum | (f + g) (x_{i}) - (f + g) (x_{i - 1}) | & = \sum | {f (x_{i}) + g (x_{i})} - {f (x_{i - 1}) + g (x_{i - 1})} | \\ (25) & = \sum | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) + g (x_{i}) - g (x_{i - 1}) | \\ (26) & \leq \sum | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | + \sum | g (x_{i}) - g (x_{i - 1}) | \\ (27) & \leq V (f; a, b) + V (g; a, b) \\ (28) & \Rightarrow V (f + g; a, b) & \leq V (f; a, b) + V (g; a, b) . \end{aligned}$
这表明函数 $f + g$ 是有界变差的。由于 $f + f + \dots$ 是有界变差的，对于任何实常数 $c$ ， $c f$ （即 $\sum^{c} f$ ）也是有界变差的。
$\begin{aligned} (29) & \sum | (f g) (x_{i}) - (f g) (x_{i - 1}) | \\ (30) & = \sum | f (x_{i}) g (x_{i}) - f (x_{i - 1}) g (x_{i - 1}) | \\ (31) & = \sum | f (x_{i}) g (x_{i}) - f (x_{i}) g (x_{i - 1}) + f (x_{i}) g (x_{i - 1}) - f (x_{i - 1}) g (x_{i - 1}) | \\ (32) & = \sum | f (x_{i}) {g (x_{i}) - g (x_{i - 1})} + g (x_{i - 1}) {f (x_{i}) - f (x_{i - 1})} | \\ (33) & \leq \sum | f (x_{i}) | | g (x_{i}) - g (x_{i - 1}) | + \sum | g (x_{i - 1}) | | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | \\ (34) & \leq k \sum | g (x_{i}) - g (x_{i - 1}) | + k \sum | f (x_{i}) - f (x_{i - 1}) | \\ (35) & \leq k . V (g) + k V (f) . \end{aligned}$
所以 $f g$ 在 $[a, b]$ 上是有界变差的。此外，如果 $f / g$ 在 $[a, b]$ 上是有界变差的，那么存在 $ε > 0$ ，使得对于 $[a, b]$ 中的每个 $x$ ，都有 $| g (x) | \geq ε$ 。对于 $[a, b]$ 的任何分割 $P$ ，我们有
$\begin{aligned} (36) & \sum | \frac{1}{g} (x_{i}) - \frac{1}{g} (x_{i - 1}) | & = \sum | \frac{1}{g (x_{i})} - \frac{1}{g (x_{i - 1})} | \\ (37) & = \sum | \frac{g (x_{i - 1}) - g (x_{i})}{g (x_{i}) g (x_{i - 1})} | \\ (38) & \leq \frac{1}{k^{2}} \sum | g (x_{i - 1}) - g (x_{i}) | & \leq \frac{1}{k^{2}} V (f; a, b) . \end{aligned}$
因此 $\frac{1}{g}$ 在 $[a, b]$ 上是有界变差的。于是 $f \cdot \frac{1}{g}$ 在 $[a, b]$ 上是有界变差的。

定理 3　

如果 $[a^{'}, b^{'}]$ 是 $[a, b]$ 的子区间，则 $V [a^{'}, b^{'}] \leq V [a, b]$ ；即，随着区间的增加，变差也增加。
如果 $a < c < b$ ，则 $V [a, b] = V [a, c] + V [c, b]$ ；即，相邻区间上的变差是可加的。

　　开始证明之前，注意到如果 $Γ$ 是 $Γ$ 的细分，即 $Γ$ 包含了 $Γ$ 的所有分割点以及一些额外的点，那么 $S_{Γ} \leq S_{\bar{Γ}}$ 。这是在 $\bar{Γ}$ 包含 $Γ$ 的所有点加上一个额外点的情况下，由三角不等式得出的。

例 3　证明：

例 4　如果 $[a^{'}, b^{'}]$ 是 $[a, b]$ 的子区间，则证明 $P [a^{'}, b^{'}] \leq P [a, b]$ 和 $N [a^{'}, b^{'}] \leq N [a, b]$ 。

定理 4　

　　如果 $P$ 、 $N$ 或 $V$ 中的任何一个有限，则三者皆有限。此外，我们有,

\begin{array}{r} (39) & P + N = V, P - N = f (b) - f (a) . \end{array}

　　或者等价地，

\begin{array}{r} (40) & P = \frac{1}{2} [V + f (b) - f (a)], N = \frac{1}{2} [V - f (b) + f (a)] . \end{array}

推论 1　约当 Jordan 定理

　　如果一个函数 $f$ 在闭区间 $[a, b]$ 上具有有界变差，那么它可以被写成 $[a, b]$ 上两个有界增函数之差。反之亦然。

　　这个定理指出了一个函数有界变差的一个等价条件，即函数可以表示为两个有界增函数之差。

　　证明: 假设 $f = f_{1}, - f_{2}$ ，其中 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 在 $[a, b]$ 上有界且递增。那么 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 在 $[a, b]$ 上是有界变差的，因此根据定理 2(ii)， $f$ 也是如此。

　　反之，假设 $f$ 在 $[a, b]$ 上是有界变差的。根据定理 3(i)， $f$ 在每个区间 $[a, x]$ ， $a \leq x \leq b$ 上都是有界变差的。设 $P (x)$ 和 $N (x)$ 在 $[a, b]$ 上是有界且递增的。此外，对于应用于 $[a, x]$ 的定理 4，当 $a \leq x \leq b$ 时， $f (x) = [P (x) + f (a)] - N (x)$ 。由于 $P (x)$ 是有界且递增的，因此 $P (x) + f (a)$ 也是如此，推论随之而来。

　　如果上面证明对于你来说难懂，我建议你阅读下面简单巧妙的证明：

　　假设 $f \in V [a, b]$ ，并且令 $v (x) = V (f; a, x)$ ， $x \in (a, b]$ ， $v (a) = 0$ 。显然， $f (x) = v (x) - [v (x) - f (x)]$ 。我们将证明 $v (x)$ 和 $v (x) - f (x)$ 是递增的。对于任意的 $x_{1} < x_{2}$ ，我们有

\begin{array}{r} (41) & v (x_{2}) - v (x_{1}) = V (f; x_{1}, x_{2}) \geq 0 \Leftrightarrow v (x_{2}) \geq v (x_{1}) . \end{array}

　　因此 $v (x)$ 是递增函数。

\begin{array}{r} (42) & f (x_{2}) - f (x_{1}) \leq | f (x_{2}) - f (x_{1}) | \leq V (f; x_{1}, x_{2}) = v (x_{2}) - v (x_{1}) \\ (43) & \Leftrightarrow v (x_{1}) - f (x_{1}) \leq v (x_{2}) - f (x_{2}) . \end{array}

因此

v (x) - f (x)

是递增函数。反之，假设

f (x) = g (x) - h (x)

，其中

g

和

h

是递增的。由于

h

是递增的，

- h

是递减的，因此

f (x) = g (x) + (- h (x))

是两个单调函数(有界变差)的和。

　　需要注意的是，由于递增函数的负值是递减的， $f$ 是有界变差的当且仅当它是一个有界递增函数和一个有界递减函数的和。

例 5　将 $f (x) = \cos^{2} x$ ， $0 \leq x \leq 2 π$ 表示为两个递增函数之差。

　　假设 $f (x) = v (x) - [v (x) - f (x)]$ , 那么问题在于确定 $v (x)$ 为递增函数。将 $[0, 2 π]$ 分成四个子区间 $I_{1} = [0, \frac{π}{2}]$ ， $I_{2} = [\frac{π}{2}, π]$ ， $I_{3} = [π, \frac{3 π}{2}]$ 和 $I_{4} = [\frac{3 π}{2}, 2 π]$ 。

　　函数 $f (x)$ 在 $I_{1}$ 和 $I_{3}$ 上从 $0$ 减小到 $1$ ，在 $I_{2}$ 和 $I_{4}$ 上从 $0$ 增加到 $1$ ，因此 $f$ 在任何这些子区间上的总变差都是 $1$ 。要确定 $V_{0}^{x} (f)$ ，我们需要研究 $x$ 在哪个区间内的不同情况。为了说明原理，假设 $x \in I_{3}$ ，那么，

\begin{aligned} (44) & V_{0}^{x} (f) & = V_{0}^{\frac{π}{2}} (f) + V_{\frac{π}{2}}^{π} (f) + | f (x) - f (π) | \\ (45) & = 1 + 1 + | \cos^{2} x - 1 | = 3 - \cos^{2} x . \end{aligned}

\begin{array}{r} (46) & v (x) = {\begin{cases} 1 - \cos^{2} x & 0 \leq x \leq \frac{π}{2} \\ 1 + \cos^{2} x & \frac{π}{2} \leq x \leq π \\ 3 - \cos^{2} x & π \leq x \leq \frac{3 π}{2} \\ 3 + \cos^{2} x & \frac{3 π}{2} \leq x \leq 2 π \end{cases} . \end{array}

有界变差

定理 1 在任意两个不同的实数之间，存在一个有理数和一个无理数。

例 1 设 f(x)=xsin⁡(1/x) 为 0<x≤1 且 f(0)=0。证明 f 在 [0,1] 上有界且连续，但不是有界变差 V[f;0,1]=+∞。

习题 1 设 f(x)=xcos⁡(π/x) 为 0<x≤1 且 f(0)=0。证明 f 在 [0,1] 上有界且连续，但不是有界变差 V[f;0,1]=+∞。

定理 2

例 2 证明：

定理 3

例 3 证明：

例 4 如果 [a′,b′] 是 [a,b] 的子区间，则证明 P[a′,b′]≤P[a,b] 和 N[a′,b′]≤N[a,b]。

定理 4

推论 1 约当 Jordan 定理

例 5 将 f(x)=cos2⁡x，0≤x≤2π 表示为两个递增函数之差。

定理 1　在任意两个不同的实数之间，存在一个有理数和一个无理数。

例 1　设 $f (x) = x \sin (1 / x)$ 为 $0 < x \leq 1$ 且 $f (0) = 0$ 。证明 $f$ 在 $[0, 1]$ 上有界且连续，但不是有界变差 $V [f; 0, 1] = + \infty$ 。

习题 1　设 $f (x) = x \cos (π / x)$ 为 $0 < x \leq 1$ 且 $f (0) = 0$ 。证明 $f$ 在 $[0, 1]$ 上有界且连续，但不是有界变差 $V [f; 0, 1] = + \infty$ 。

定理 2　

例 2　证明：

定理 3　

例 3　证明：

例 4　如果 $[a^{'}, b^{'}]$ 是 $[a, b]$ 的子区间，则证明 $P [a^{'}, b^{'}] \leq P [a, b]$ 和 $N [a^{'}, b^{'}] \leq N [a, b]$ 。

定理 4　

推论 1　约当 Jordan 定理

例 5　将 $f (x) = \cos^{2} x$ ， $0 \leq x \leq 2 π$ 表示为两个递增函数之差。