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    最小生成树

                         

    预备知识 并查集,Dijkstra

       生成树的定义:是指在一个带权的无向联通图中选择 n 个点和 n1 条边构成的无向联通子图。

       最小生成树的定义即为边权最小的生成树。

       求最小生成树最常用的两种算法为:Prim 和 Kruskal。Prim 常用于稠密图,Kruskal 则相反。

    1. Prim 算法

       Prim 算法的思路与 Dijkstra 算法非常相似。 定义 S 为当前已经确定了属于最小生成树的结点,T 为集合外的结点。使用 dist 数组存储每个结点到 S 集合的距离,距离定义为如果有多个结点指向 S 集合,则距离最短的边为这个结点到 S 集合的距离。最开始初始化所有结点到 S 集合的距离为 +1 号点到 S 集合的距离为 0。一共进行 n 次迭代,每次找到 T 集合中距离 S 集合距离最短的结点 t,然后用 t 结点更新其他点(与 t 相连的结点)到 S 集合的距离,然后把 tT 集合中删去,加入到 S 集合中,则 t 结点为当前已经确定了属于最小生成树的结点。

       具体的做法是用一个布尔数组来标记一个点是否属于 S 集合,st[i]true 则结点 i 属于 S 集合,反之不属于。每次从未标记的结点中选择一个 dist 值最小的结点,把这个结点加入到 S 集合中,并把这个结点的权值加到答案里,然后更新所有出边。

       朴素 Prim 的时间复杂度为:O(n2),使用堆优化可以达到 O(mlog2n),但是使用堆优化的 Prim 算法代码太长,不如直接用 Kruskal。

    Prim 算法的正确性证明

       使用数学归纳法证明:

       证明对于 k<n,存在一棵最小生成树包含算法前 k 选择的不在 S 集合且距离最近的边。

       初始 k=1,存在一棵最小生成树数包含第一步选择的最短的边,证明显然成立。

       假设算法前 k 步选择的边能包含在最小生成树中,那么第 k+1 步选择的边也包含在最小生成树中。

    图
    图 1:图示

       第 k+1 步算法选择的边为 ek+1,并且权值最小。同样用反证法证明,假设没有选择 ek+1 这条边,选择了另一条 ek+1 这条边,如果把 ek+1 选择上,会构成一条回路,但如果把 ek+1 删去,构成了一棵树,并且总权值之和不会变大。

       所以算法第 k+1 步仍可得到最小生成树.

    const int N = 510, M = 1e5 + 10, INF = 0x3f3f3f3f;
    int n, m, dist[M], st[M], g[N][N];  // g 数组用邻接矩阵存储图
    
    int prim()
    {
        memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
        dist[1] = 0;
        
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            int t = -1; // t 表示不在 S 集合中距离 S 集合距离最短的结点,-1 表示还没找到
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                if (!st[j] && (t == -1 || dist[j] < dist[t]))  
                    t = j;  
            
            st[t] = true;
            if (dist[t] == INF) return INF; // 找到一个点与图是不联通的
            res += dist[t]; // 这个结点到 S 集合的边权为答案
            
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                dist[j] = min(dist[j], g[t][j]); // 用 t 更新其他点的距离
        }
         
        return res;
    }
    

    2. Kruskal 算法

       Kruskal 算法的思想较为简单,思想是基于贪心算法。具体做法是:把每条边的权值从小到大排序,然后依次枚举每条边 (a,b,w),如果 ab 不联通,就合并这两个点所在的集合,并把答案加上这条边的权值,不连通就忽略这条边。初始化每个结点都是一个集合。维护不相交森林可以用并查集,该算法的时间复杂度的瓶颈在排序上,所有 Kruskal 的时间复杂度为 O(mlog2m)。最后如果最小生成树中加的边的个数小于 n1,则最小生成树构建失败。

    int n, m, p[N];
    struct Node
    {
        int a, b, c;
    }e[M];
    
    int find(int x)  // 并查集
    {
        p[x] = p[x] != x ? find(p[x]) : p[x];
    }
    
    int kruskal()
    {
        sort(e, e + m, [&](Node &a, Node &b) {  // 将每条边的权值从小到大排序,这里使用了 Lambda
            return a.c < b.c;
        });
        
        int res = 0, cnt = 0;
        for (int i = 0; i < m; i ++ )
        {
            int a = e[i].a, b = e[i].b, c = e[i].c;
            a = find(a), b = find(b);
            if (a != b)  // 如果 a b 不连通
            {
                p[a] = b;
                res += c;
                cnt ++ ;
            }
        }
        
        if (cnt < n - 1) return INT_MAX;
        return res;
    }
    


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