小时百科
    百科
    讨论版
    AI 问答
    用户
    云笔记

    评论列表

    贡献者:有机物

    深度优先搜索(DFS)

                         

       深度优先搜索(DFS,Depth First Search)简称深搜或者爆搜,DFS 的搜索顺序是按照深度优先搜索,简单来说就是 “一条路走到黑”,搜索是把所有方案都试一遍,再判断是不是一个可行解。搜索与 “递归” 和 “栈” 有很大的联系,递归是实现搜索的一种方式,而栈则是计算机实现递归的方式。每个搜索过程都对应着一棵递归搜索树,递归搜索树可以让我们更加容易的理解 DFS。 整个搜索过程就是基于该搜索树完成的,为了不重复遍历每个结点,会对每个结点进行标记,也可以对树中不可能是答案的分支进行删除,从而更高效的找到答案,这种方法被称为剪枝。如果搜索树在某个子树中搜索到了叶结点,想继续搜索只能返回上个或多个状态,返回的过程称为回溯,回溯要记得恢复状态,才能保证接下来的搜索过程可以正常进行。

    1. 普通搜索

       来看一道具体例题学习 DFS

       题意:输出 $n$ 的全排列

       思路:以 $n$ 为 $3$ 举例,枚举每个位置上该填什么数,但是每一位上的数不能和其他位置上的数一样,填满了 $3$ 位就输出,然后回溯继续搜索。

    图
    图 1:递归搜索树

       上图则是一棵递归搜索树,就是搜索的过程形象化的显示出来。从第一个数字开始填,在填第二个数字,填过的数字记得要标记一下 “使用过了”,不然会导致三个数字有两个数字是重复的。上文提到的回溯,就是填完了三个数字,先输出答案,无法在继续搜索下去就要回溯,回溯记得要恢复状态,不然接下来无法填数。

       算法思路:

    1. path 数组保存排列。
    2. st 数组保存每个数的状态,st[i] 为 $\mathtt{true}$ 则表示数字 $i$ 被用过,反之没被用过。

    int path[10], st[10], n;
    
    void dfs(int u)
    {
        if (u == n) // u == n 则说明填满了三个数
        {
            for (int i = 0; i < n; i ++ )
                cout << "    " << path[i];     // 输出答案
            cout << endl;
            return;     // 返回,进行回溯操作
        }
        
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            if (!st[i])
            {
                st[i] = true;   // 标记数字 i 被使用过
                path[u] = i;    // 第 u 个位置上的数是 i
                
                dfs(u + 1);     // 搜下一个位置
                
    // 如果开始执行这段代码了,说明已经填满了 3 个数,正在进行回溯操作,则需要恢复状态
                st[i] = false;  
    // 第 u 个位置变成空了,但这句话其实没必要写,在回溯完毕准备填数的时候则会被覆盖
                path[u] = 0;    
            }
            
        return;     // 回溯
    }
    

       DFS 的思想和代码很容易理解,这里不再赘述,但初学者学不懂 DFS 的原因主要是不理解递归而理解不了 DFS。这里来详细的讲解一下递归的执行过程。

    图
    图 2:递归调用的过程

       进入入口则是主函数调用,先执行一段代码然后递归调用(对应上面的代码就是 dfs(u+1)),如果某一次递归的过程的中触发了判断条件,则返回(回溯),回溯到上次执行我这次的递归的代码的下面再继续执行下面的代码,如图中的第一根红线,对应上面的代码是先输出了 $1 2 3$,然后是第一次触发判断条件,这时 $u$ 为 $3$,就返回到 $u$ 为 $2$ 的这次递归上,然后不执行 dfs(u+1),直接执行下面的代码。然后没代码可以执行了,就只能执行第 $27$ 行的代码继续返回(回溯),然后再继续做接下来的操作。

    2. 搜索的剪枝

       搜索的剪枝是优化搜索的很好的一种方式,即及时排除不可能的答案,从而少搜索点结点,就可以优化时间。在递归搜索树中则是删除一个子树,则被成为 “剪枝”。

       剪枝的常见方法:

    1. 优化搜索顺序
      在某些问题中,顺序怎么来枚举都差不多,但对于一些特殊的问题,搜索的顺序会直接影响到整个 DFS 的效率,可见,优化搜索顺序是 DFS 剪枝中的一个常用方法。
    2. 排除等效冗余
      简单来讲,就是不搜索重复的结点,比如搜索 $123$ 和搜索 $321$ 是同一个效果(特殊问题除外),一遍都是人为定义一个搜索的顺序,只按照这个顺序搜索下去。因为改变一下顺序搜索对答案的影响是一样的。
    3. 可行性剪枝
      如果搜索的当前结点已经无法搜索到答案,那么就没必要往下继续搜索了,则提前返回,这也是 DFS 剪枝中最常用的剪枝。
    4. 最优化剪枝
      如果搜索的当前结点不可能作为答案输出,则提前返回,比如再往下搜索对答案的影响都不可能再变小,则直接返回。

       同样的,让我们来看一道例题来看看剪枝是怎么应用到题目中的。

       题目大意: 给定若干个长木棍和若干的短木棍,让我们从长木棍中裁剪出若干个短木棍,问我们最多可以裁出多少根短木棍。每个长木棍和短木棍只能使用一次。

       思路: 数据范围只有 $m\leq50$ 所以直接深搜就行了,但需要加一点剪枝优化。

       剪枝 $1$

       排序 $+$ 二分

       先将长木棍和短木棍从小到大排序。

       显然,我们裁的时候一定是从小到大裁剪的前 $k$ 个,不妨设我们裁剪的不是最小的 $k$ 个,那么我们裁剪最小的 $k$ 个,方案数不会变少。

       所以只需要裁剪从小到大的前 $k$ 的短木棍就可以了,所以需要存一个短木棍的前缀和 S[i]

       我们还可以发现,如果裁剪的是前 $k$ 个短木棍的话,那么在 $k$ 之前的一定可以裁剪,在 $k$ 之后的一定不能裁剪,所以具有二段性,所以就可以二分了。

       剪枝 $2$(优化搜索顺序)

       我们在判断前 $k$ 个短木棍能不能裁剪出来的时候,直接搜索就可以了,可以从后往前枚举(即从大到小)短木棍。

       从大到小枚举可以使搜索树的分支更少,从而更快的触发剪枝条件。

       剪枝 $3$(可行性剪枝)

       我们开一个变量 total 来记录所有长木棍的总长度,如果 total < S[k] 那么一定无解。

       剪枝 $4$

       如果某个长木棍的长度都要 $<$ 最短的木棍的长度的话,那么也一定无解。

       剪枝 $5$(排除等效冗余)

    1. 如果有几个长度相等的短木棍的话,改变裁剪顺序都是等价的,所以我们可以定一个搜索顺序,避免重复搜索。
    2. 如果我们发现有两个相等的长木棍,如果在第一个长木棍无解,那么与它相等的长木棍也一定无解。

       完整代码:

    #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <algorithm>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 55, M = 2 << 10;
    
    int n, m;
    int Board[N];      // 老板提供的每一块木板的长度(长木板)
    int board[M];     // 约翰需要的每一块木板的长度(短木板)
    int total;              // 长木板的总长度
    int sum[M];             // 短木板的前缀和
    int mid;
    
    
    bool dfs(int u, int start)
    {
        if (!u) return true;
        if (total < sum[u]) return false; // 剪枝 3
        if (u + 1 > mid || board[u] != board[u + 1]) start = 1;
        
        for (int i = start; i <= n; i ++ )
        {
            if (i > start && Board[i] == Board[i - 1]) continue;  // 剪枝 5.2
            
            if (Board[i] >= board[u])
            {
                total -= board[u], Board[i] -= board[u];
                if (Board[i] < board[1]) total -= Board[i]; // 剪枝 4
                
                if (dfs(u - 1, i))
                {   
                    // 由于要回溯,所有需要恢复现场
                    if (Board[i] < board[1]) total += Board[i];
                    total += board[u], Board[i] += board[u];
                    return true;
                }
                
                if (Board[i] < board[1]) total += Board[i];
                total += board[u], Board[i] += board[u];
            }
        }
        
        return false;
    }
    
    int main()
    {
        cin >> n; 
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
            cin >> Board[i], total += Board[i];    // 记录所有长木棍的总长度
        sort(Board + 1, Board + n + 1);
        
        cin >> m;
        for (int i = 1; i <= m; i ++ ) 
            cin >> board[i];
        sort(board + 1, board + m + 1);
        
        // 短木棍的前缀和
        for (int i = 1; i <= m; i ++ ) 
            sum[i] = sum[i - 1] + board[i];
        
        // 二分答案
        int l = 0, r = m;
        while (l < r)
        {
            mid = l + r + 1 >> 1;
            if (dfs(mid, 1)) l = mid;
            else r = mid - 1;
        }
        
        cout << r << endl;
        
        return 0;
    }
    


    致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                         

    友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利