不确定性原理

1.1 简介

不确定性原理由海森堡在1927年的论文中首次提出，该原理指出，对于一个微观粒子，其位置与动量不能同时具有确定值，其位置信息的准确度越高，则所能得到的动量准确度的上限越低，海森堡通过对高斯型波函数的分析得到：

其中  、  分别为位置和动量的标准差，  为约化普朗克常数。

不久后，肯纳德（Earle Hesse Kennard）^[3]和 外尔（Hermann Weyl）^[4]根据德布罗意关系和玻恩对波函数的统计诠释基础上证明了:

更一般的，对于两个观测量的算符  、  ，其标准差的乘积满足：

1.2 意义

不确定性原理表明，微观粒子的位置和通量不能同时具有确定的值，其本质上是由于微观粒子的存在形式由波函数来描述，因此宏观世界中的位置、动量等概念是不适用的，正如对一列波而言，讨论某一位置x处的波长是没有意义的，因为波长是与整个波动相关的概念，实际上，在波动力学中类似的不确定性原理以为人熟知，一个函数与其傅里叶变换函数的展宽互相制约，该函数的展宽越宽，则其傅里叶变换函数的展宽就越窄，而一个微观粒子动量表象和坐标表象下的波函数互为傅里叶变换，可见，不确定性原理是物质波动性的体现，尺度越小时，物质的波动性越强，量子效应也就越强，因此不确定性原理告诉我们经典粒子概念使用的一个限度，这个限度可以用约化普朗克常数来表征，当时，量子力学将回到经典力学，或者说量子效应可以忽略。^[2]

1.3 不确定性原理的证明

^[5]对于两个观测量的算符  、  和物质波函数  ，定义:

其中  、  表示两个观测量的平均值。

则两个观测量标准差为：

根据施瓦茨不等式，得到：

而对于某个复数z，有

将z=  代入，有

而通过计算可得

所以有

其中

为  的对易子，也称为泊松括号。

这样就得到：

特别的，对于位置算符  ，和动量算符   ,有：

代入不等式得到：

由于标准差为正数，开方得

至此我们证明了不确定性原理，上述计算表明，当两个算符不对易时（即他们的对易子不为0），他们不能够同时取确定值，反之，当两个物理量的算符对易时，他们可以同时测准，此时他们具有共同的本征态组，可称这两个物理量时相容的。

2.1 发现过程

^[6]1925年初夏，海森堡从哥本哈根回到哥廷根后，考虑放弃电子轨道的经典图像，尝试直接由光谱频率和谱线强度这样一些可观测量入手来解决氢原子谱线强度计算的问题，6月中旬，海森堡在赫尔戈岛养病期间关于量子力学的模糊想法逐渐清晰起来，在与泡利的一番讨论后，7月初，海森堡写成了开创量子力学的第一篇论文《从量子理论来重新解释运动学和力学关系》^[7]，论文中，海森堡发现了物理量的符号乘法规则和坐标动量的对易关系。这篇文论已经勾勒出量子力学的基本轮廓。海森堡将论文的最后一稿交给玻恩，玻恩感觉到海森堡的论文中包含了他们追求多年的某种基本的东西，进一步研究后，玻恩发现海森堡的符号乘法不是别的，正是矩阵的运算，在此基础上，玻恩和他的助手约尔丹合写了创立量子力学的第二篇论文《关于量子力学》，他们把论文的副本寄给了正在度假的海森堡，海森堡写了一封热情的回信，假期结束后，三人共同完成了论文的收尾，这就是创立量子力学的第三篇论文《关于量子力学II》，它包括了量子力学的几乎所有要点。这三篇论文奠定了量子力学的基础，创立了量子力学的矩阵表述。

海森堡等人的工作在物理学界引起了广泛的反响，狄拉克在了解到海森堡的工作后，从哈密顿力学理论触发，从经典力学的泊松括号得到了海森堡的对易关系，从力学量的运动方程独立得到了与玻恩和约尔丹相同的结果，狄拉克在深入系统的研究后，独立于海森堡们创立的量子力学，并使它具有更简洁更普遍的形式。1926年，薛定谔提出了量子力学的波动形式，随后又证明其与海森堡的矩阵形式是等价的，都是狄拉克的更普遍形式理论的具体体现。紧接着薛定谔的工作，玻恩提出了波函数的统计诠释，指出波函数是一种概率振幅，其模的平方对应于测量到粒子的概率分布，这为海森堡提出不确定性原理在观念上奠定了基础。

海森堡的量子力学否定了电子的经典轨道概念，但电子的径迹的确能够通过云室观测到，这意味着什么呢，海森堡在经过几个月的思考后，突然意识到，之前在与爱因斯坦的讨论中，当他向爱因斯坦表示“一个完善的理论必须以直接可观测量作依据时”，爱因斯坦则向他指出“在原则上，试图单靠可观测量与建立理论那是完全错误的，实际上正好相反，是理论决定我们能够观测到什么东西”^[8]。在这一回忆的启发下，海森堡仿照爱因斯坦在狭义相对论里对同时性的操作定义方法，领悟到：云室里的径迹不可能精确的表示出经典意义下的电子轨道，他们原则上至多给出电子坐标和动量的一种模糊描述。海森堡随后利用高斯型波函数研究量子力学对经典图像的限制，并很快推导出同时测量粒子坐标和动量所受到的限制，正是上文提到的不确定性原理。

从量子力学理论结构上来看，不确定性原理是海森堡对易关系的推论，海森堡对易关系在量子力学体系中处于核心地位，而不确定性原理则揭示这个对易关系所包含的物理意义。1929年春天，海森堡在芝加哥大学发表了题为《量子论的物理原理》的一系列演讲，全面和深入地重新审定和阐述了这一原理，他指出：一般说来，任何一个测定某些物理量的实验，同时也就会改变以前所获得的另一些物理量的知识。即使定量的追溯这种影响，我们仍会发现，在很多情况下，同时测量两个不同物理量总是存在一个不能再提高的精度下限。相对论对经典概念进行批判的出发点，是假设不存在大于光速的信号速度。类似的，我们可以把同时测量两个不同物理量有一个精度下限，即所谓不确定关系，作为一条自然定律，并以此作为量子论对经典概念进行批判的出发点，这个不确定关系告诉我们，要对原子过程做出一致描述，必须在多大程度上摆脱经典概念的限制。”

2.2 名称

在海森堡1927年的论文中，使用了 "Ungenauigkeit" 这个单词来描述这个原理，英文为“Indeterminacy”，但在尾注中他又使用了单词"Unsicherheit" ，即英文“Uncertainty”。^[1]后来在海森堡另一部著作的英文版中（《The Physical Principles of the Quantum Theory 》），延用了“Uncertainty”的说法，后来的英文文献大多采用这种翻译。

在中文物理学书籍中，该原理早期曾被译作“测不准原理”，这可能是因为海森堡是采用显微镜测量的理想实验来阐明这个原理的，然而无论是原始德文文献还是英文文献中，都没有“测不准”这种说法，更重要的是微观粒子的这种性质来源于波函数的统计诠释，是其内禀属性，与测量过程无关，因此“测不准原理”的说法严格意义上说是不正确的。

3.1 最小不确定波包

对于什么样的波函数，不确定性关系中的不等式可以取到等号，也就是说该波函数某种意义上具有最小的不确定性呢？为了解决这个问题，可以从原理的证明过程入手，证明过程中两处不等式中取等号的条件分别是：

1. 施瓦茨不等式成立，从而      

2.     从而    

由于  为实数，故应为纯虚数，令  （  为实数），则有：

代入坐标和动量算符有：

该微分方程具有通解：

于是得到具有最小不确定度的波函数为高斯型波函数。^[5]

3.2 信号与系统中的不确定性原理

在信号处理系统中，理想低通滤波器的阶跃响应的上升时间  和带宽  的乘积等于1，这表明系统在时域的分辨能力与频域的分辨能力相互制约，这两个参量不能同时达到任意小的数值，提高时域的分辨率必然要牺牲频域的分辨率，反之亦然。

通过对阶跃响应的分析，反复利用施瓦茨不等式和帕塞瓦尔定理，可以计算出信号持续时间的标准差  与信号角频率标准差  满足：

上述原理也称为Gabor定律。