素数定理

        本小节可参看^[1]第十一章, ^[2]第六章, 以及^[3].

        数学家们一直希望了解素数在整数中的分布情况. 早在公元前 300 年, 欧几里得就通过反证法证明了素数有无穷多个, 但此后的两千年间一直少有进展. 数学家们也试图通过公式来给出素数, 但多年间发现的公式或者只能给出很少的素数, 或者因太过于复杂而看不出其规律 (可参考 Wilson 定理与 Willians 公式).

        1737 年, 莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler) 发现了一个重要的恒等式: 对于实变数, 成立

其中无穷乘积遍历所有的素数. 这是算术基本定理 (素因子分解定理) 的一个绝妙的解析等价形式. 欧拉进一步命, 而得到了如下不甚严格的形式表达式:

用今天的语言来说, 无穷乘积按照对数发散. 这是继欧几里得的素数无穷多之后的一个划时代的成果: 它开创了素数的定量分布理论. 这一结论预示着素数的分布相当"稠密", 因为例如无穷乘积是收敛的.

        1797-1798年, 阿德里安-马里·勒让德 (Adrien-Marie Legendre) 根据当时已有的素数表猜测了的渐近形式: 对于大的, 有近似等式

约翰·高斯 (Johann Carl Friedrich Gauß) 在1849年的致朋友的信中表示: 自己在1792年前后通过考察每一千个相邻整数中素数的个数, 猜测素数在整数中的平均分布密度应该是. 因此, 应该有近似等式

右方图表显示了的两个近似公式同本身的误差. 这些数值结果印证了高斯的猜测: 用对数积分来逼近的误差比来得小.

        在1850年前后, 帕夫努季·切比雪夫 (Пафну́тий Льво́вич Чебышёв) 开始着手研究素数分布. 他仅仅通过对阶乘的初等运算就证明了不等式

其中是两个很接近 1 的常数. 这足以推出伯特兰定理: 对于整数, 在和之间必有一素数.

        1859 年, 伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann) 发表了一篇论文《论不大于给定数值的素数的个数》^[4]. 论文只有短短九页, 却成为了解析数论发展史上一篇里程碑式的文献. 在文中, 黎曼将欧拉恒等式中的函数视为复变函数, 详细地研究了其解析性质, 得到了函数方程和第一个精确的素数显式公式. 这个函数以后就被叫做黎曼函数. 黎曼用显式公式非常清晰地显示出: 素数的分布与黎曼函数的零点分布是等价的. 黎曼还在文中提出了极为重要的黎曼猜想, 它后来被视为最深刻也最困难的数论猜想之一: 黎曼函数的非平凡零点全部具有实部 1/2. 唯一的遗憾是: 在黎曼的年代, 单复变函数论发展尚且很不完备, 因此黎曼并没有证明素数定理.

        1892年之后, 雅克·阿达玛 (Jacques Hadamard) 开始着手研究素数分布. 他证明了黎曼的论文中未经严格证明的复变函数论结论^[5]. 在1896年, 他^[6]和夏尔·让·德·拉·瓦利-布桑^[7][8] (Charles Jean de la Vallée-Poussin) 终于利用更加精细的复变函数论方法得到了关于黎曼函数的零点分布的足够信息, 从而一举证明了素数定理.

此后的数年间, 数学家们围绕素数定理进行了各种各样的研究. 每得到一个关于黎曼函数零点分布的结论, 就可以立刻得到素数定理的误差项的一个估计. 1962年, 阿诺德·瓦尔菲茨 (Arnold Walfisz) 利用三角和估计给出了迄今为止最佳的黎曼函数非零区域的结果, 从而得到了迄今为止最佳的误差估计: 存在一常数, 使得

        1949 年, 阿特勒·塞尔伯格 (Atle Selberg) 和保罗·厄多斯 (Paul Erdös) 发现了素数定理的一个初等证明. 这个证明仅仅利用了实数范围内的微积分, 而没有使用复变函数论. 理论上来说, 只要懂得微积分就可以看懂这个证明; 然而实际上这个证明非常复杂, 比起使用复变函数论的原始证明来说, 它并没有因为"初等"而获得值得瞩目的优势. 其具体内容可参考^[9]第九章.

2.1 黎曼的论文

        黎曼^[4]将视为复变函数. 这个级数仅仅对于收敛, 但黎曼通过将级数重写为积分而扩大了其收敛域, 从而将解析延拓成了全复平面上的亚纯函数; 它仅在处有一留数为 1 的一阶极点. 进一步地, 黎曼利用调和分析中的求和公式证明了如下的函数方程:

这里是 Gamma 函数 (阶乘的推广). 这些结果后来都被推广至了一般的代数数域上的戴德金函数. 黎曼还初步研究了的零点分布, 他指出: 都是的零点 (称作平凡零点), 而除此之外还有无穷多零点 (称作非平凡零点), 它们都位于铅垂条带内. 他还给出了一个零点分布的渐近公式: 以代表虚部为正且不大于的非平凡零点的个数, 则有

而后, 黎曼提出了重要的猜想:位于铅垂条带内的非平凡零点实际上都落在铅垂线上.

        接下来, 黎曼对乘积公式

取对数, 逐项积分而得到如下的公式: 若命, 则有

他利用当时尚且未被系统研究过的积分反演技术将反解出来 (参看积分变换):

然后, 黎曼作出一个未经证明的断言:可以像多项式因子分解那样分解为其零点的乘积. 将这乘积代入上式就得到

这里是个常数, 求和项遍历的所有非平凡零点. 根据数论中基本的莫比乌斯变换反演公式, 这实际上就给出了素数计数函数的精确表达式, 因此这公式就被称为黎曼素数显式公式.

        黎曼的论文在历史上第一次系统地将解析方法引介至数论研究中, 从而成为解析数论的开山之作.

2.2 解析证明

        尽管已经得到了素数显式公式, 但黎曼却没能证明素数定理: 他对于的非平凡零点分布的信息了解太少, 不能估计显式公式中求和项对误差的贡献; 从显式公式来看, 若希望素数定理成立, 则必须要求非平凡零点的实部小于 1, 这样求和项对误差的贡献才可被对数积分盖过. 另外, 他的论文没有严格地证明的因子分解性质.

        阿达玛一着手研究素数分布, 就利用他自己发展起来的较精细的复变函数论严格证明了的因子分解性质^[5]. 他的研究开启了复变函数论中的整函数理论, 而他所证明的定理也就是后来复变函数论中熟知的阿达玛因子分解定理. 接下来, 阿达玛^[6]和德·拉·瓦利-布桑^[7]在因子分解定理的基础上, 各自独立证明了在铅垂线上没有零点. 接下来的严格证明也都始于与黎曼的原类似的素数显式公式, 但他们使用的辅助函数比黎曼的更加方便. 他们利用的是切比雪夫引进的-函数: 

其中代表素数. 通过初等微积分, 容易利用表示, 反之亦然, 而素数定理正等价于. 他们得到了形如

的显式公式; 这里都是常数, 求和项遍历的非平凡零点. 比起黎曼的原始公式, 这个公式的优势在于避开了一些微妙的收敛性问题. 根据和一些简单的微积分计算, 立即得出. 德·拉·瓦利-布桑更进一步地研究了的非零区域^[8], 更精细地确定了非平凡零点的分布, 从而得到了历史上第一个素数定理的误差估计: 存在一使得

这也佐证了对数积分逼近的误差比小的数值结果. 详细的证明可见于^[1]第十一章, ^[2]第六章, ^[10]第三章, 或可见^[11].

2.3 与黎曼猜想的关系

        本节内容可参考^[3]或者^[1]中所作的综述. 就描述黎曼函数零点分布情况的定理的详细证明, 可参考^[10].

        根据素数显式公式, 从黎曼函数的非平凡零点的分布信息必然能够推出素数分布的信息, 因此研究非平凡零点的分布情况在数论中有着非常重要的地位. 例如, 根据显式公式, 如果非平凡零点实部的上确界不大于, 那么就可以推出

反过来, 也可以证明 (参看^[1]第十二章): 如果有

那么非平凡零点实部的上确界不大于. 而且, 上面渐近公式中的不能改成比 1/2 更小的数了. 由此, 黎曼猜想给出了素数定理的最佳误差估计.

        在代数学与数论中, 各种各样的函数以及相关的L-函数都是非常重要的研究对象. 这里仅举出代数数域的例子. 本节内容可参考^[12]的第三章与第七章, 或者专著^[13]的第七章. 一个简单的概括可见^[14].

3.1 戴德金$\zeta$函数

        设是代数数域, , 是它的整数环. 如果是一理想, 则其绝对范数 (absolute norm) 为. 由于的加法群是有限生成交换群, 所以其任何非零理想的绝对范数都是有限的. 定义数域的戴德金函数为

这里求和项遍历的非零理想. 由于是戴德金整环, 所以其任何非零理想都可以唯一地准素分解为非零素理想的乘积, 而对于两个理想又有. 因此就有如下类似于欧拉的乘积公式的因子分解定理:

其中的乘积遍历的素理想. 由于的具有给定范数的素理想最多只有个, 所以这无穷乘积在半平面上绝对收敛且内闭一致收敛. 于是级数在这个半平面上也是绝对收敛且内闭一致收敛的. 显然, 当时, 它的整数环就是有理整数的环, 所有的理想与所有的正整数之间可以一一对应, 所有的素理想与所有的正素数之间可以一一对应, 而就回归黎曼函数.

        戴德金函数在数论上的意义十分重大: 它实际上可以被表示为代数数域的伊代尔群 (idèle group) 上的积分, 而这个积分表示蕴含了数域本身的非常丰富的信息. 例如, 也满足一个与黎曼函数十分类似的函数方程, 而它正是数域的阿代尔环 (adèle ring) 自对偶性的体现; 在特殊点处的取值与的代数结构 (如理想类群和单位群) 密切相关. 这一套理论发端于美国数学家玛格丽特·马特切特 (Margaret Matchett), 约翰·泰特 (John Tate) 和日本数学家岩泽健吉 马特切特的博士论文^[15], 泰特的博士论文^[16]和岩泽健吉的信^[17][14]是其奠基性的文献.

3.2 素数定理的一般化

        本节内容参看^[2]第八章, ^[12]第七章, ^[13]第七章, 专著^[18], 或者^[14].

        设是可数无穷集, 其上有一函数. 设

一般化的素数定理考虑的是计数函数的渐近行为:

        定理 (一般化的素数定理). 定义  的  函数为

如果可以解析延拓为包含闭半平面的某开集上的无零点亚纯函数, 在处有一阶极点, 则成立渐近公式

        这个定理的证明要用到所谓维纳-池原定理 (Wiener-Ikehara theorem). 参见^[2]第八章.

        还有更为精细的切博塔列夫密度定理 (Chebotarev density theorem): 

        定理 (切博塔列夫密度定理). 假定上一个定理的条件. 设是紧拓扑群, 是从  到  的共轭类的映射. 对于的一维连续酉表示, 定义

对于, 设. 如果的边界具有零测度, 而且当不是平凡表示时, 可解析延拓为包含闭半平面的某开集上的无零点全纯函数, 那么成立渐近公式

这里是从继承下来的不变测度, 正规化为.

        如果是代数数域, 那么可以考虑其整数环  的素理想分布函数

与处理经典的素数分布函数一样, 完全可以得到将与联系起来的公式. 由于也满足一个完全类似于经典的黎曼  函数的函数方程. 由此, 应用阿达玛和德·拉·瓦利·布桑的方法, 仍旧可以证明  在铅垂线上没有零点. 利用一般化的素数定理即可得到素理想定理: 

        进一步地, 可以得到与黎曼函数完全类似的因式分解公式, 从而得到素理想分布函数的显式公式. 这个显式公式包含着的所有非平凡零点, 从而也可以对其提出广义黎曼猜想 (generalized Riemann hypothesis): 戴德金函数的非平凡零点都有实部 1/2. 德国数学家埃德蒙·朗道 (Edmund Landau) 应用与经典情形完全类似的方法^[19], 得到了如下的带余项的素理想定理: 

这表示: 代数数域整数环的素理想的渐近分布状况与有理整数中素数的渐近分布状况十分类似. 例如, 取, 则整数环是高斯整数环, 而素理想一一对应于高斯素数. 这时, 素理想定理就给出了高斯素数按照范数的渐近分布公式.

        切博塔列夫密度定理则给出了素数分布的更加精细的刻画. 例如, 对于高斯素数的集合, 若取(单位圆乘法群), 为单位圆上的一段弧, 则按照密度定理, 即得到高斯素数分布的幅角一致性: 范数不大于  且幅角落在内的高斯素数的个数有渐近公式

再例如, 对于素数的集合, 若取(模剩余类乘法群), 则按照密度定理, 即得到迪利克雷素数定理: 对于互素的, 不大于且模余的素数个数有渐近公式

这里是欧拉函数.