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一个通用的结论是:若把刚体在延轴方向复制任意多次,其质量变大但转动惯量公式不变.例如图 1 中的薄圆盘和圆柱体,又例如细棒(中心轴)和薄长方体(共面轴).这是因为如果两个物体转动惯量分别为
和
,总质量
,那么总转动惯量为
,系数
不变.
细圆环和薄圆柱环的所有质量与转轴的距离都为,可以看成许多质点的叠加,每个质点转惯量为
,所以
细棒的线密度为,如果划分成长度为
的小段,第
段距离转轴
,有
细棒(中心轴)可以看做两个等质量的细棒(端点轴),质量都为,每个具有转动惯量(式 2 )
,乘以二得总转动惯量为
其中.由此可以看出,若一个物体可以拆分成转动惯量相同的若干部分,那么转动惯量公式不变.
可以看成许多细棒(中心轴)组成,所以转动惯量的系数仍然为
球壳可以看做由许多细圆环组成,质量面密度为,球坐标中,令第
个圆环对应的极角为
,宽度为
,面积为
,半径为
,总转动惯量为
也可以在球坐标中直接写出球面积分
球体可以看做由许多薄球壳组成,体密度为,令第
个球壳半径为
,厚度为
,体积为
,总转动惯量为
也可以在球坐标中直接体积分
其中对的积分使用了换元积分法.
由 “薄长方体(共面轴)” 可知两个共面方向的转动惯量分别为(式 4 )和
,使用垂直轴定理式(3)可得关于垂直轴的转动惯量为二者之和
其中 ,
分别是两条边长.
另外由于长方体可以看作许多薄片延轴方向叠加,其转动惯量公式也相同
其中,
分别是长方体垂直于转轴的两条边长.
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