运动学

术语运动学是英文的 A.M. Ampère cinématique^[9]，来源于希腊语词根的 κίνημα 电影院(“运动，运动”)，而词根来源于κινεῖν kinein(“移动”)。^[10][11]

运动学和cinématique与法语单词cinéma有关，但两者都不是直接从它派生出来的。然而，它们确实有一个共同的词根，因为cinéma来自CINématography的简称“电影放映机和照相机”，再次来自运动的希腊语单词，但也来自写作的希腊语单词。^[12]

平面极坐标中的运动矢量。请注意，不限于二维空间，而是任何更高维度的平面。

粒子运动学是对粒子轨迹的研究。粒子的位置被定义为从坐标框架的原点到粒子的坐标向量。例如，假设一个距离您家向南50米的塔，坐标系位于您家，这样东方是x方向，北方是y方向，那么塔底部的坐标向量是r= (0，50，0)。如果塔是50 m高，则到达塔顶的坐标向量为r= (0，50，50)。

在大多数情况下，三维坐标系用于定义粒子的位置。然而，如果粒子被约束在表面上移动，二维坐标系就足够了。如果没有参考系来描述这些观测，物理学中的所有观测都是不完整的。

粒子的位置向量是从参考系的原点到粒子的向量。它既表示点到原点的距离，也表示点到原点的方向。在三维空间中，点的位置P可以表示为

这里   ,   ，和   是笛卡尔坐标，   ,   和   是沿着   ,   ，   坐标轴的单位向量。位置向量的大小   给出点和原点之间的距离   

位置向量的方向余弦提供了方向的定量测量。 需要注意的是，粒子的位置向量不是唯一的。给定粒子的位置向量相对于不同的参考系是不同的。

粒子的轨迹是时间的矢量函数，   ，它定义了运动粒子所描绘的曲线，由

这里，坐标x_P,y_P，和z_P都是时间的函数。

行进的距离总是大于或等于位移。

2.1 速度和速度

粒子的速度是描述运动方向和粒子运动大小的矢量。从数学上讲，一个点的位置向量相对于时间的变化率是该点的速度。考虑粒子的两个位置之差除以时间间隔形成的比率。该比率称为该时间间隔内的平均速度，定义为速度=位移/时间

其中 ΔP是位置向量在时间间隔Δt上的变化。

当时间间隔Δt越来越小时，平均速度成为位置矢量的时间导数，，

因此，速度是点位置变化的时间速率，点表示这些函数x、y和z相对于时间的导数。此外，在粒子沿其路径占据的每个位置，速度都与粒子的轨迹相切。请注意，在非旋转坐标系中，坐标方向的导数不被认为是常数，因为它们的方向和幅度是常数。

物体的速度是其速度的大小。它是一个标量:

其中s是沿着粒子轨迹测量的弧长。粒子随时间移动的弧长是非递减量。因此，ds/dt是非负的，这意味着速度也是非负的。

2.2 加速度

速度矢量可以在大小和方向上变化，或者同时在两个方向上变化。因此，加速度既考虑了速度矢量大小的变化率，也考虑了该矢量方向的变化率。类似于用位移定义速度，也可以用速度定义加速度矢量。它由速度矢量的变化率定义。

其中ΔV是速度矢量， Δt是时间间隔。

当时间间隔接近零时，粒子的加速度是平均加速度的极限，

   方程1)

或者

因此，加速度是该粒子速度矢量的一阶导数和位置矢量的二阶导数。请注意，在非旋转坐标系中，坐标方向的导数不被认为是常数，因为它们的方向和幅度是常数。

物体的加速度的幅值是其矢量|A|的大小。它是一个标量:

2.3 相对位置向量

相对位置向量是定义一个点相对于另一个点的位置的向量。这是两点的位置差异。 一点的位置A相对于另一点B只是他们位置的不同

这是它们的位置向量的分量之间的差异。

如果点A具有位置坐标   

如果点B具有位置坐标   

那么点的位置A相对于点B它们的坐标之间的差是:   

2.4 相对速度

一个点相对于另一个点的速度仅仅是它们的速度之差

这是它们速度分量之间的差异。

如果点A有速度分量   

指向B有速度分量   

那么点的速度A相对于点B它们的速度差是:   

或者，可以通过计算相对位置矢量的时间导数来获得相同的结果r_B/A。

在速度接近光速的情况下 c(通常在95%以内)另一种相对速度的方案称为快度，它取决于V与c的比率，用于狭义相对论。

2.5 相对加速度

一点的加速度C相对于另一点B的加速度，仅仅是它们的加速度之差。

这是它们的加速度分量之间的差值。

如果点C有加速度分量   

指向B有加速度分量   

那么点C相对于点B的加速度差是:   

或者，可以通过计算相对位置矢量的二阶时间导数来获得相同的结果P_B/A。

对于恒定加速度的情况，微分方程式1)可以积分为加速度矢量A在大小和方向上是不变的。这被称为匀加速运动。在这种情况下，速度V(t)和轨迹P(t)可以通过积分加速度方程A得到^[13]。

假设位置的初始条件已知，   时，P=   ，V=   ，第一次积分可以得到粒子速度与时间的函数关系。

第二次积分产生它的路径(轨迹)，

可以推导出位移、速度、加速度和时间之间的关系。因为加速度是恒定的，

   代入上述方程得到:

速度、位置和加速度之间的关系没有明确的时间相关性，可以通过求解时间的平均加速度，并进行替换和简化

其中∘表示点积，这是合适的，因为积是标量而不是向量。

点积可以用角度的余弦值   在向量和矢量的大小之间替代，在这种情况下:

在加速度总是在运动方向的情况下，矢量之间的角度(   )是0，所以   ，故

这可以使用向量大小的符号来简化    这里   可以是任何曲线路径，因为沿着该路径应用恒定的切向加速度，所以

这将粒子运动的参数方程简化为速度与位置的笛卡尔关系。当时间未知时，这种关系很有用。我们也知道   或者   是v-t图形下的面积^[14]

。我们可以通过增加顶部区域和底部区域来获取   。底部区域是一个矩形，矩形的面积是   。其中   是宽，   是高。^[15]既然这样   和   (请注意   这里不同于加速度   )中。这意味着底部区域是   。现在让我们找到顶部区域(三角形)。三角形的面积是   其中   是底，   是高。^[16]在这种情况下，   &   或者   。在等式中增加   和   ，   。^[17]当最终速度   未知时，这个公式很有用。

图2:非均匀圆周运动的速度和加速度:速度矢量与轨道相切，但由于其切向分量，加速度矢量不是径向向内的aθ这增加了旋转速度:dω/dt=|aθ|/r。

用x-y平面上的极坐标来表示粒子p（t）=（x（t）、y（t）和z（t））的轨迹通常是很方便的。在这种情况下，它的速度和加速度采用一种方便的形式。

回想一下，粒子p的轨迹是由其在固定参考坐标系f中测量的坐标向量p定义的。当粒子移动时，其坐标向量p（t）跟踪其轨迹，这是空间中的曲线，由下式给出：

其中i,j，和k是沿着X,Y和Z轴 的单位向量。

考虑仅在圆柱R（t）＝C的表面上移动的粒子P，可以将固定框架F的Z轴与圆柱体轴线对齐。然后，X轴平面内的这个轴的角度θ可以用来定义轨迹，

通过引入径向和切向单位矢量，可以简化p（t）的柱坐标。

和它们的初等微积分时间导数:

  。

使用这些符号，P(t)变成以下形式:

其中r在粒子仅在半径为r的圆柱体表面上移动的情况下为常数。

一般情况下，轨迹P（t）不被约束在圆柱上，因此半径r随时间变化，圆柱极坐标中的粒子轨迹变为:

其中R、θ和Z可能是时间的连续可微函数，为了简便起见，函数符号被去掉了。速度矢量V_P是轨迹P(t)的时间导数，即:

  。

同样，加速度A_P是速度V_P的时间导数，由下式给出:

术语   作用于路径上该点的曲率中心，通常称为向心加速度。术语   被称为科里奥利加速度。

4.1 恒定半径

如果粒子的轨迹被约束在圆柱体上，那幺半径r是常数，速度和加速度向量也会简化。vp的速度是轨迹p（t）的时间导数。

加速度矢量变为:

4.2 平面圆形轨迹

当在Z轴上没有运动时，在圆柱上出现粒子轨迹的特殊情况：

其中R和Z₀是常数。在这种情况下，速度V_P由下式给出:

其中

是单位矢量e_θ在绕圆柱体Z轴的角速度。

加速度A_P粒子的P现在由下式给出:

设

分别称为射线和切线分量加速度。

角速度和角加速度的符号通常定义为

所以圆轨迹的径向和切向加速度分量也写作

通过在每个零件上附加一个参考坐标系并确定各个参考坐标系是如何相对移动的，来分析机械系统部件的运动。如果零件的结构刚度足够大，则可以忽略其变形，并使用刚性变换来定义这种相对运动。这就把对复杂机械系统各部分运动的描述，简化为描述各部分的几何结构和各部分相对于其它部分的几何关联的问题。

几何学是研究在空间以各种方式变换时保持不变的图形的性质——更严格地说，是研究在一组变换下的不变量^[18]。这些变换可以导致三角形在平面上的位移，同时留下顶点的角度和顶点之间的距离不变。运动学通常被描述为应用几何学，其中机械系统的运动是用欧几里德几何学的刚性变换来描述的。

平面中点的坐标是r²(二维空间)中的二维向量。刚性变换是那些保持任意两点之间距离的变换。n-维空间中的刚性变换集称为特殊的欧几里德群rⁿ，并表示为SE(n) 。

5.1 位移和运动

机械系统的一个部件相对于另一个部件的位置是通过引入参考坐标系来定义的，比如说m，它相对于另一个固定的框架f移动。m相对于f的刚体变换或位移定义了两个分量的相对位置。位移由旋转和平移的组合组成。。

m相对于f的所有位移的集合称为m的配置空间。在该配置空间中，从一个位置到另一个位置的光滑曲线是一个连续的位移集合，称为m相对于f的运动。

5.2 矩阵表示

平面R2中旋转和平移的组合可以用一种称为齐次变换的3x3矩阵表示。3×3齐次变换由2×2 旋转矩阵 A(φ)和2×1平移向量构成d=(d_x，d_y)，如:

这些齐次变换对平面z=1中的点执行刚性变换，即对坐标p=（x，y，1）的点执行刚性变换。

特别是，让p定义与固定框架f重合的参考框架m中的点的坐标。那么，当m的原点被相对于f的原点的平移向量d置换，并被相对于f的x轴的角度φ旋转时，m中的点的新坐标f由以下公式给出

齐次变换代表仿射变换。这个公式是必要的，因为平移不是的线性变换r²。然而，使用射影几何，使得r²是r³的子集，平移变成仿射线性变换。^[19]

如果刚体移动，使其参考坐标系m不相对于固定坐标系f旋转（∅=0），则该运动称为纯平移。在这种情况下，物体中每个点的轨迹是m原点轨迹d（t）的偏移，即：

因此，对于纯平移的物体，每一点的速度和加速度P由下式给出:

其中，点表示相对于时间的导数，vo和ao分别表示移动帧m原点的速度和加速度。回忆一下，m中的坐标向量p是常数，因此其导数为零。

旋转或角度运动学是对对象旋转的描述。^[20]对旋转的描述需要一些描述方向的方法。常用的描述包括欧拉角和由代数积引起的转动的运动学。

在下文中，注意力仅限于围绕固定方向的轴的简单旋转。为方便起见，选择Z轴。

位置 

这允许将旋转描述为平面参考框架M相对于固定于该共享Z轴上的F的角位置。M中的坐标p=（x，y）与f中的坐标P=（x，y）通过矩阵方程相关：

     

其中

     

是旋转矩阵，它定义M相对于时间的角度位置作为时间的函数。

速度 

如果点p在M中不移动，其在F中的速度由下式给出

     

消除坐标p并将其写为对轨迹p（t）的运算是很方便的，

     

其中矩阵

      即M相对于F的角速度矩阵。参数ω是角θ的时间导数，即

     

加速度 

F中   P(t)的加速通过速度的时间导数获得，

     

变成了

     

其中

     

为   M在   F上的角加速度矩阵，并且

     

旋转的描述涉及这三个量:

• 角位置：从旋转轴上选定的原点到目标点的定向距离是定位点的向量r（t）。向量R（t）在垂直于旋转轴的平面上具有一定的投影r（t）。然后，该点的角度位置是从参考轴（通常是正X轴）到已知旋转意义的向量R（t）的角度τ（通常由右手规则给出）。
• 角速度 :角速度ω是角位置的速率θ相对于时间t的变化:

       

角速度在图1中用矢量Ω表示，该矢量Ω指向旋转轴，其大小ω和意义由旋转方向决定，如右手法则所示。

• 角加速度 ：角加速度α的大小是角速度ω相对于时间t变化的速率：

平移运动学方程可以很容易地推广到平面转动运动学中，用简单的变量交换求解恒定角加速度：

这里θ_i和θ_f分别是初始和最终角度位置，ω_i和ω_f分别是初始角速度和最终角速度，α是恒定的角加速度。虽然空间中的位置和空间中的速度都是真实的矢量(根据它们在旋转下的特性)，但角速度也是真实的矢量，角度本身不是真实的矢量。

运动学中的重要公式定义了运动物体在三维空间中跟踪轨迹时的速度和加速度。这对于一个物体的质心特别重要，它用牛顿第二定律或拉格朗日方程导出运动方程。

8.1 位置

为了定义这些公式，机械系统的部件B的运动是由一组旋转[A（t）]和平移D（t）定义的，其组合成齐次变换[t（t）]＝[a（t），d（t）]。如果p是在移动参考坐标系m中测量的点p在b中的坐标，则在f中跟踪的该点的轨迹由下式给出：

这种符号不能区分P= (X, Y，Z，1)，和P= (X, Y，Z)，这在上下文中希望是很清楚的。

这个p的轨迹方程可以倒过来计算m中的坐标向量p，如下所示：

这个表达式使用了旋转矩阵的转置也是其逆变换的事实，即:

8.2 速度

点P沿其轨迹P（t）的速度作为该位置矢量的时间导数获得，

点表示相对于时间的导数；因为p是常数，它的导数为零。

这个公式可以通过对在固定框架f中测得的p（t）的轨迹进行运算来获得p的速度。将p的逆变换代入速度方程得到：

矩阵[S]由下式给出:

其中

是角速度矩阵。

乘以算子[S)，速度V_P的公式为:

其中，矢量ω是从矩阵[Ω]的分量中获得的角速度矢量；矢量

是p相对于移动框架m的原点o的位置；以及

是原点的速度O。

8.3 加速度

在运动体B中的点p的加速度是作为其速度矢量的时间导数获得的：

这个方程可以首先通过计算来扩展

和

加速度A_P现在可以变成:

或者

其中α是从角速度矩阵的导数获得的角加速度矢量；

是相对位置向量(P相对于移动框架M的原点O)；

是移动框架原点的加速度M。

运动约束是对机械系统部件运动的约束。运动约束可以被认为有两种基本形式：（i）由定义系统结构的铰链、滑块和凸轮关节产生的约束，称为完整约束；（ii）对系统速度施加的约束，如平面上溜冰鞋的刀口约束，或滚动而不滑动的圆盘或球体与平面接触，这被称为非完整约束。下面是一些常见的例子。

9.1 运动耦合

运动耦合精确地约束所有6个自由度。

9.2 滚动而不打滑

在表面上滚动而不打滑的物体，其质心的速度等于其角速度与从接触点到质心的矢量的叉积:

对于不倾斜或不转动的对象，这简化为   。

9.3 不可拉伸的绳索

这种情况下，物体由一根理想化的绳索连接，该绳索保持张紧状态，并且不能改变长度。约束是绳索所有段的长度之和是总长度，因此该和的时间导数为零。^[21][22][23]这种类型的动力学问题是摆。另一个例子是，一个鼓在重力的牵引下，通过不可拉伸的绳索将落在轮辋上的重物旋转。^[24]这种类型的平衡问题（即非运动学问题）是悬链线。^[25]

9.4 运动副

勒洛称形成机器运动对的组件之间的理想连接为运动副。他区分了据说在两个连杆之间具有线接触的较高对和在连杆之间具有面积接触的较低对。菲利普斯表明，有许多方法来构造不适合这种简单分类的对。^[26]

较低副

较低对是理想的关节或完整约束，它保持移动实体(三维)中的点、线或平面与固定实体中相应的点画线或平面之间的接触。有以下几种情况:

• 转动副或铰接接头需要移动体中的线或轴保持与固定体中的线共线，并且移动体中垂直于该线的平面保持与固定体中类似垂直平面的接触。这给连杆的相对运动施加了五个约束，因此连杆具有一个自由度，即围绕铰链轴的纯旋转。
• 棱柱形接头或滑块要求移动体中的线或轴保持与固定体中的线共线，并且移动体中平行于该线的平面保持与固定体中类似平行平面的接触。这对连杆的相对运动施加了五个限制，因此连杆具有一个自由度。这个自由度是滑块沿线的距离。
• 圆柱形接头要求移动体中的线或轴保持与固定体中的线共线。它是转动关节和滑动关节的组合。这个关节有两个自由度。移动物体的位置由围绕轴的旋转和沿着轴的滑动来定义。
• 球形接头要求移动体中的一个点与固定体中的一个点保持接触。这个关节有三个自由度。
• 平面接头要求移动体中的平面与固定体中的平面保持接触。这个关节有三个自由度。

较高副

一般来说，较高的副是一个约束，要求移动体中的曲线或表面保持与固定体中的曲线或表面的接触。例如，凸轮与其从动件之间的接触是一个更高的副，称为凸轮关节。同样，构成两个齿轮啮合齿的渐开线曲线之间的接触也是凸轮关节。

9.5 运动链

由运动副（“关节”）连接的刚体（“连杆”）称为运动链。机构和机器人是运动链的例子。通过使用移动公式计算关节的数目和关节的数目和类型来确定运动链的自由度。这个公式也可以用来枚举具有给定自由度的运动链的拓扑结构，这被称为机械设计中的类型综合。

实例

由N个连杆和J铰接或滑动关节组装的平面一自由度连杆机构为：

• N=2，j=1 :作为杠杆的两杆联动装置；
• N=4，j=4 :四连杆机构；
• N=6，j=7 :六连杆机构。这必须有两个链接（“三元链接”）来支持三个关节。有两种不同的拓扑结构，这取决于两个三元连杆是如何连接的。在瓦特拓扑中，这两个三元链路有一个公共连接；在斯蒂芬森拓扑中，这两个三元链路没有公共连接，并且通过二元链路连接。^[27]
• N=8，j=10 :具有16种不同拓扑结构的八连杆机构；
• N=10，j=13 :具有230种不同拓扑结构的十杆连杆机构；
• N=12，j=16 :具有6，856种拓扑结构的十二连杆机构。

对于较大的链及其连杆拓扑，请参见R. P. Sunkari和L. C. Schmidt，“采用麦凯型算法进行平面运动链的结构综合”，机制和机器理论#41，1021–1030页(2006)。