频率选择表面

1.1 谱域矩量法(概述和数学介绍)

背景

历史

历史上，求解FSS反射和透射场的第一种方法是谱域法(SDM)，即使在今天，它仍然是一个有价值的工具[Scott(1989)]。谱域方法在俄亥俄州立大学被称为周期矩量法(PMM)。SDM从假设的所有场、电流和电势的Floquet / Fourier解开始，而PMM是从单个散射体开始，然后添加无限平面中的所有散射体(空间域)，然后使用变换产生谱域的表示。这两种方法实际上是相同的方法，因为它们都假设无限面状构造，从而产生场的离散傅里叶级数。

优势和劣势

对于FSS，谱域方法相对于麦克斯韦方程组的其他严格数值解有一个非常重要的优势。因为它产生了一个非常小维度的矩阵方程，因此它几乎可以在任何类型的计算机上求解。矩阵的维数由单个散射体上的电流基函数的数量决定，对于共振或共振以下的偶极子，矩阵的维数可以小到1×1。然而，矩阵元素的计算时间比体积方法(如有限元法)长。体积法需要精确地对周围的体积进行网格划分，尽管矩阵通常很稀疏，但可能需要数千个元素来获得精确的解。

Floquet原理

谱域方法基于Floquet原理，这意味着当平面波照射无限大平面周期结构时，除了入射场的相移，周期平面中的每个单元必须包含完全相同的电流和场。这个原理允许所有电流、场和电势用修改的傅立叶级数来表示，该级数由普通的傅立叶级数乘以入射场相位组成。如果周期平面占据x-y面，那么傅里叶级数就是二维傅里叶级数: x, y。

平面波谱

类似于傅立叶光学系统，场和电流的Floquet-Fourier级数展开直接产生FSS两侧场的离散平面波谱表示。

2D PEC频率选择表面的场方程

完美导电周期表面不仅是最常见的，而且在数学上是最容易理解的，因为它们只允许电流源J的存在。本节介绍了分析独立(无基底)PEC FSS的谱域方法。电场E与矢量磁势A的关系式可以表示为(Harrington [2001], Scott [1989], Scott [1997]):

矢量磁势与电流源的关系如下:

其中，

无源介质中场的平面波展开

频率选择表面通常在垂直于表面平面的方向上分层。也就是说，所有电介质都是分层的，所有金属导体也被认为是分层的，可视为完全平面。因此，我们排除了可能连接FSS结构不同层的金属过孔(垂直于FSS平面的导线)。考虑到这种分层结构，我们可以对FSS内部和周围的场使用平面波进行展开，因为平面波是无源媒质中矢量波方程的本征函数解。

为了求解独立双周期表面方程(1.1)和(1.2)，我们考虑占据整个x-y平面的无限2D周期表面，并假设所有电流、场和势的离散平面波展开(Tsao [1982], Scott [1989], Fourier optics傅立叶光学）:

数学上，我们假设一个矩形格，其中α只依赖于m，β仅取决于n。在上面的等式中，

而且，

其中，l_{x ，} l_y是单元格x,y方向的尺寸，λ分别是自由空间波长，θ₀，φ₀是假设的入射平面波的方向，FSS位于x-y平面。在(2.2c)中，取具有正实数部分和非正实数部分根(负或零)的虚部。

PEC FSS的独立积分方程

将方程(2.1)代入(1.1)和(1.2)，得到辐射电场与其源电流相关的谱域格林 Green函数 (Scott [1989])，其中只考虑位于FSS平面，即x-y平面中的场矢量的分量:

其中，

上式中的分支点奇点(平方根倒数奇点)，由于光谱是离散的，只要波长不等于单元间距，就不会出现奇异解。据此，单位晶胞内PEC材料表面的电场边界条件变为 (Scott [1989]):

其中，需要关注位于散射体平面上的电流和场的x、y分量。

等式(3.3)严格上讲是不正确的，因为在PEC散射体表面上，只有电场的切向分量实际上为零。当(3.3)用当前基函数测试时，这种不精确性将会得到解决，定义为散射体的表面上的场。

在这类问题中，入射场通常被认为是平面波，在x-y平面上表示为：

矩量法(MoM)

与矩量法中通常的做法一样，我们假设源电流J_j 在一组已知的具有未知加权系数的基函数上展开(Scott [1989]):

将(4.1)代入(3.3)，然后用第i个基函数(即从左边起的第i个基函数的域上积分，从而完成二次型)产生矩阵方程的第i行：(Scott [1989]):

这是独立金属FSS的电场积分方程的第i行。方程(4.2)可以很容易地修改，用于分析FSS周围的电介质片(衬底或上层)，甚至复杂的多层FSS结构 (Scott [1989]) 。所有这些矩阵方程都很容易实现，只需要计算基函数的2D傅里叶变换，封闭形式是较优选择。方程之间有惊人的相似性。(4.2)以上以及布洛赫波-矩量法方程。(4.2)用于计算三重周期电磁介质的ω-β图，例如光子晶体(Scott [1989] ，Scott [2002] )。鉴于这种相似性。(4.2)及其在介电层FSS结构中的许多变体(Scott [1989]）也可以用于(RHS设置为零)寻找复杂FSS结构中的表面波。

RWG(Rao-Wilton-Glisson)基函数(Rao，Wilton和Glisson [1982])是一个非常通用的选择，不仅可用于许多目的，而且易于使用面积坐标进行计算变换。

计算反射和透射系数

方程(4.2)和(3.1)已用于求解来自不同类型FSS的反射和透射的电流J和散射场E(Scott [1989])。反射场是由FSS上的电流(FSS辐射的场)引起的，发射场等于辐射场加上入射场，但不同于反射场的是其中m = 0，n = 0阶(零阶)。

1.2 有限元法

2.1 背景

概述

对于大于FSS单元尺寸的波长，只存在一个无限Floquet模式的传播。所有其他的模式都是在垂直于FSS平面的z方向上指数衰减的，因为(2.2c)中根下的量是负的。对于大约大于十分之一波长左右的FSS间距，这些渐逝波场对FSS叠加性能的影响可以忽略不计。因此，实际上，可以利用FSS的频带中的单个传播波就足以捕获多层FSS叠加的特性。这种单个传播波可以用等效传输线来模拟。

FSS可以用跨传输线并联放置的集总RLC网络来表示。分流导纳FSS模型只适用于极小的FSS，因为它的切向电场在FSS两侧是连续的；T或π网络可以作为有限厚度的FSS的等效近似。

自由空间中的传输线法

自由空间和传输线都允许TEM行波解，甚至自由空间中的TE/TM平面波也可以使用等效传输线模型来建模。主要的是自由空间和传输线都允许的行波解具有如下形式:

可以如下构造等效传输线模型:

对于TEM 波，有

对于TE波，有

对于TM波，有

其中θ是入射波相对于FSS偏离法线的角度。Z₀是自由空间波阻抗，约为377欧姆。

并联谐振和FSS

跨等效传输线并联放置的电路元件与薄FSS有一些共同的因素。薄FSS切向电场条件的连续性反映了分流电路元件两侧的电压连续性条件。FSS的磁场跳跃条件反映了等效电路的基尔霍夫电流分配定律。对于有一定厚度的FSS板，为了更好地逼近真实的FSS，可能需要更通用的π或T模型。

谐振电路可以近似模拟谐振散射体。

对于除了最密集的偶极阵列(类似砖块的“巴斯特”低通滤波器)之外的所有阵列，通过简单地考虑自由空间中单个周期元素的散射特性，可以实现对FSS的一阶运算。自由空间中的偶极子或贴片将强烈反射与物体本身尺寸相当的波长的能量，例如当偶极子的长度是1/2波长时。对于低于该第一共振的频率(以及第一和第二共振之间的频率)，物体将反射很少的能量。因此，用偶极子和贴片观察到的这种谐振现象可以将它们建模为跨传输线并联的谐振电路的概念——在这种情况下，元件电容和电感是串联的，在谐振时产生反射短路。这种结构称为带阻或带阻滤波器。带通滤波器可以使用导电平面中的孔来构造，导电平面可以通过由电感器和电容器的并联连接组成的分流元件来建模。

一维线光栅可以建模为分流电感器(用于平行于线的偏振)或分流电容器(用于垂直于线的偏振)。紧密封装的“gangbuster”偶极子阵列是低通结构，可以使用并联电容器进行建模。

谐振电路R、L、C值必须由第一性原理分析确定

FSS等效电路的确切电路拓扑和元件值必须使用第一性原理来确定。带通网状FSS片是L、C的并联连接，带阻贴片型FSS片是L、C的串联连接，在这两种情况下，L、C值由滤波器的中心频率和带宽决定。

2.2 带通和带阻FSS及其等效电路的反射和传输特性——简介

FSS的等效传输线电路模型源自于对FSS产生的反射和传输特性的观察，非常类似于跨传输线并联放置的电感器和电容器的反射和传输特性。

带阻FSS滤波等效电路和反射响应

图2.4.1-1右侧显示了FSS的两种基本类型——带通网状FSS型和带阻贴片型FSS ( 金属网状滤光器)。贴片型带阻FSS的等效电路如图2.4.1-2所示。电感和电容串联的阻抗为 (Desoer, Kuh [1984])：

或者，

电感器和电容器的这种串联产生零阻抗(短路)条件，当

在短路条件下，所有入射能量都被反射，因此这是谐振贴片带阻滤波器的等效电路。

反射系数的大小为:

其中Z₀是传输线的特性阻抗。

上3dB点和下3dB点的频率作为等式的解给出:

其中，

因此，如果谐振的中心频率和宽度由第一原理确定，则通过将等效谐振电路的反射响应拟合到实际FSS的反射响应来获得等效电路的L、C，并且以这种方式，可以容易地提取电路参数L、C。一旦完成，就可以使用等效电路模型进行多层FSS设计。等效电路中应包括任何所需的电介质模型。

对于较小的ω值，电感jωL的阻抗小于电容1/jωC的阻抗，因此电容主导分流阻抗，因此贴片型带阻FSS在谐振下是容性的。我们将在第2.3.1节中利用这一事实，使用等效电路设计低通FSS滤波器。

带通FSS滤波等效电路和传输响应

网状带通FSS的等效电路如图2.4.2-1所示。电感和电容并联的导纳为(Desoer, Kuh [1984]):

当以下情况时，导纳为零(开路条件)

当电感器和电容器的并联组合产生开路时，所有能量都被传输。

同样，带通滤波器的传输系数的大小为:

低于谐振频率时，电感器的导纳1/jωL大于电容器的导纳jωC，因此网状带通FSS在低于谐振频率时是电感性的。

等效电路响应和实际FSS响应的比较

图2.4.3-1显示了单层交叉偶极子FSS与其拟合等效电路之间的反射特性比较。等效电路是并联在传输线两端的电容器和电感器的串联连接，如图2.4.1-2所示。该谐振器在谐振时会产生短路情况。共振下的贴合性非常好，高频拟合较差。

真实FSS在18.7 GHz(波长等于0.630"单位晶胞尺寸)具有反射零点，这在等效电路模型中没有考虑。被称为wood奇异，是由谱域格林函数(3.1)中的平方根倒数奇异性趋于无穷大引起的。物理上，这代表在FSS平面内传播的均匀平面波。在空间域中，所有空间域格林函数的相干求和变为无穷大，因此任何有限的电流都在FSS表面产生无限的场。因此，在这种情况下，所有电流都必须为零。

这个例子说明了简单等效电路模型的有用性和缺点。等效电路仅包括与单个散射元件相关的特征，而不包括与周期性阵列相关的特征，例如散射体之间的相互作用。

FSS二元性与电路二元性

FSS二元性

如果网格类型FSS是由片类型FSS组成，则存在一种类似形状的互补缝隙结构，被称为FSS的二元性。二元性仅在不存在电介质基底时严格适用，因此在实践中仅近似满足，尽管即使存在电介质基底，二元性在FSS设计中也是有用的。作为附带说明，当补片(和孔径)大小接近单元大小时，病理FSS模式(如棋盘FSS)可以被视为由于贴片和网格的限制，网格的电连接保持在极限内。对于双FSS，贴片的反射系数将等于网格的透射系数。

电路二元性

可以简单地将带阻FSS的反射系数等于带通FSS的透射系数来获得带阻滤波器的双电路(如果使用L₁，C₁描述带阻贴片FSS，L₂，C₂用于描述带通网格FSS):

带通电路(参数为L₂，C₂)是带阻电路(参数为L₁，C₁)的对偶。

一旦确定了传输线等效电路，多层FSS设计就变得更加简单和直观，就像普通的滤波器分析和设计一样。现在，虽然使用第一性原理和广义散射矩阵(GSM)设计多层FSS结构是可能的，但使用等效电路模型进行FSS设计要容易得多，并且更快，也更直观，因为可以利用几十年来在电气滤波器分析和设计方面进行的研究，并将其应用于FSS结构。此外，FSS滤波器比波导滤波器更容易设计，因为其入射角不随频率变化。

3.1 采用FSS等效电路的巴特沃斯低通滤波器设计

起点:原型集总L，C 巴特沃斯滤波器

作为如何使用FSS等效电路快速有效地设计实用滤波器的一个例子，我们可以使用5个频率选择表面的叠层，在FSS片之间有4个空气层，勾勒出设计5级巴特沃斯滤波器的过程。

低通原型L，C梯形网络如图3.1.1-1所示(Hunter [2001])。截止频率将缩放至7千兆赫，滤波器的输入和输出端将匹配377欧姆(自由空间阻抗)。我们将遵循的想法是，并联电容器最终将被亚谐振(电容)贴片型FSS片取代，串联电感器将被5个FSS层之间的空气间隔物取代。短传输线大约相当于串联电感。

原型集总的传输响应L，C 过滤器

图3.1.2-1显示了经缩放的巴特沃斯L，C滤波器的幅度和相位响应。传输幅度在通带中是平坦的(低于7 GHz截止频率)，并且在通带的高频侧具有单调递减的裙部。通过滤波器的相位在整个7 GHz通带中都是线性的，这使得该滤波器可以作为线性相位滤波器应用的理想选择，例如在设计接近真实时延传输线的超宽带滤波器时。这是基线集总L，C滤波器，将是5层FSS巴特沃斯滤波器设计的起点。

现在开始将巴特沃斯集总L，C滤波器原型转换成等效的FSS·巴特沃斯滤波器。为了获得相应的FSS滤波器，需要对基线集总L、C滤波器进行两次修改。首先，串联电感将被等效传输线部分取代，然后并联电容将被电容FSS取代。

第一个转变:用传输线间隔物代替串联电感

在开发的这一点上，原型L，C梯形网络中的串联电感现在将被FSS层之间的亚半波长空气间隔层(建模为传输线)所取代。空气间隔层的厚度可以如图3.1.3-1所示进行确定，将串联电感器的ABCD矩阵与短传输线的ABCD矩阵进行比较(Ramo [1994)，以便获得并联电容器(次谐振FSS层)之间的适当传输线长度，从而产生巴特沃斯滤波器响应。众所周知，串联电感代表短传输线的近似集总电路模型，我们将利用这种等效性来确定空气间隔层的厚度。

随着板间空气间隔层厚度的确定，等效电路现在采用图3.1.4-1所示的形式:

第二种转变:用谐振下的电容性贴片FSS代替并联电容器

现在唯一剩下要做的就是找到低通FSS，它产生图2.3.1-4所示的分流电容值。这通常是通过反复试验来完成的。将并联电容安装到真实FSS是通过重复利用第一性原理来实现的，以将并联电容的反射响应与来自电容性FSS的反射相匹配。谐振下的贴片型FSS将产生电容并联导纳等效电路，FSS片中元件的封装更紧密，等效电路中会产生更高的并联电容值。

根据应用的不同，FSS似乎可以采取几乎无限多的形式。现在FSS正被用于某些超材料的开发。

4.1 分类:按形式或功能

FSS通常是谐振结构(波长相当于元件尺寸和间距)。FSS可以按其形式或功能分类。在形态上，Munk（Munk [200]）将FSS分为两大类:“线状”(一维)和“斑状”(二维)。他毕生的爱好是一维线状FSS结构，它们在许多应用中有优势。FSS作为滤波器，也可以根据它们的功能来分类，除了带阻滤波器之外，它们通常分为三类:低通、高通和带通。FSS也可以被制成吸波器，并且吸收通常在某个频带上。

4.2 单元类型

现在已知许多单元类型的FSS，从早期类型如谐振偶极子、圆盘和正方形到交叉偶极子、耶路撒冷十字、四足加载槽和三振子等。

4.3 低通

FSS反射和透射特性由单个散射体和晶格共同决定。

4.4 带阻

4.5 带通

4.6 角度滤波器

4.7 AFA

通常情况下，FSS是通过化学蚀刻镀铜电介质片来制造的，电介质片可以由Teflon(ε=2.1)、Kapton(ε=3.1)、玻璃纤维(ε=4.5)或各种形式的duroid(ε=6.0、10.2)组成。片材的厚度范围可以从千分之几英寸至千分之几20~40英寸。

FSS的应用范围从普通(微波炉)到当代技术前沿，包括主动和可重构结构，如智能皮肤等。

6.1 微波炉

6.2 天线