PID控制

PID控制器的显著特点是能够使用这三种控制器（比例、积分和微分）对控制器输出的影响，以实现精确和最优的控制。右侧的框图显示了这些项是如何生成和应用的原则。它显示了一个PID控制器，它连续计算设定值    和测量值   之间的 误差值   ，并基于比例项、积分项和微分项应用校正。控制器试图通过调整控制变量   例如控制阀的打开来计算由控制项的加权所确定的新值。

在此模型中:

• 比例项P与当前的误差值 e（t)成正比。例如，如果误差为较大正值，则控制输出将为考虑了增益因子K的较大正值。仅使用比例控制将导致设定点和实际过程值之间的误差，因为产生比例响应需要误差。如果没有错误，就没有正确的响应。
• 积分项I计算过去的SP − PV误差值，并随着时间的推移对它们进行积分以产生 i 项。例如，如果在应用比例控制后有一个残余SP − PV误差，积分项试图通过增加由误差的历史累积值引起的控制效应来消除残余误差。当误差消除后，积分项将停止增长。这将导致比例效应随着误差的减小而减小，但这将通过不断增长的积分效应来补偿。
• 微分项D是根据当前的变化率对未来SP − PV误差趋势的最佳估计。它有时被称为“预期控制”，因为它通过施加由误差变化率产生的控制影响来有效地寻求减小SP − PV误差的影响。变化越快，控制或阻尼效果越大。^[1]

调谐——这些效果的平衡是通过环路调谐产生最佳控制功能来实现的。调谐常数如下所示为“K”，并且必须针对每个控制应用进行推导，因为它们取决于控制器外部整个环路的响应特性。这些取决于测量传感器、最终控制元件(如控制阀)、任何控制信号延迟和过程本身的行为。常数的近似值通常可以在知道应用类型的情况下初始输入，但通常通过引入设定点变化和观察系统响应来“碰撞”实际过程，从而对其进行细化或调整。

控制动作——上述数学模型和实际回路对所有项都使用“直接”控制动作，这意味着正误差的增加导致相加项的正控制输出的增加，以应用校正。然而，如果有必要应用反向纠正措施，则输出被称为“反向”动作。例如，如果流量回路中的阀门为0-100%控制输出的100-0%阀门开度，这意味着控制器动作必须反转。一些过程控制方案和最终控制要素需要这个扭转动作。一个例子是冷却水阀门，在信号丢失的情况下，故障安全模式是阀门的100%开启；因此，0%的控制器输出需要导致100%阀打开。

1.1 数学形式

总体控制函数可以用数学表示为

这里   ,   ，和   都是非负的，分别表示比例项、积分项和微分项的系数(有时表示为 P, i，和 D)中。

在 标准符号 方程式(见下文)中，    和    分别被替换为    和   ；这样做的好处是    和    有一些可以理解的物理意义，因为它们分别表示积分时间和微分时间。

1.2 控制项的选择性使用

虽然PID控制器有三个控制项，但有些应用只使用一个或两个控制项来提供适当的控制。这是通过将未使用的参数设置为零来实现的，并且在没有其他控制动作的情况下被称为PI、PD、P或I控制器。PI控制器相当常见，因为微分对测量噪声敏感，而积分项的缺失可能会阻止系统达到其目标值。

1.3 适应性

PID算法的使用不能保证系统的最优控制或控制稳定性，当存在过度延迟时，可能会出现以下情况：过程值的测量被延迟，或者控制措施的应用速度不够快。在这些情况下，需要有效的超前-滞后补偿。控制器的响应可以用其对错误的响应、系统超调设定值的程度以及任何系统振荡的程度来描述。但是PID控制器是广泛适用的，因为它只依赖于被测过程变量的响应，而不依赖于底层过程的知识或模型。

早期的PID理论是通过观察舵手在风、海况等各种影响下保持船舶正常航行的行为而发展起来的

气动PID（三项）控制器：通过顶部的刻度盘调整P、I、D大小。

2.1 起源

在完全理解和实现PID控制器之前，连续控制源于离心式调速器，它使用旋转砝码来控制一个过程。这是克里斯蒂安·惠更斯在17世纪发明的，目的是根据旋转速度调节风车磨盘之间的间隙，从而补偿谷物饲料的变速。^[2][3]

随着低压固定式蒸汽机的发明，需要自动速度控制，詹姆斯·瓦特自行设计了“圆锥摆”调速器，一套通过连杆臂连接到垂直主轴上的旋转钢球，已成为行业标准。这是基于磨石间隙控制的概念。^[4]

然而，在负载变化的情况下，旋转调节器的速度控制仍然是可变的，在这种情况下，单独称为比例控制的缺点是显而易见的。随着负载的增加，期望转速和实际转速之间的误差会增大。19世纪，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell）于1868年在他现在著名的关于州长的论文中首次描述了州长运作的理论基础。他探索了控制稳定性的数学基础，并取得了很好的解决方法，但呼吁数学家们研究这个问题。^[5][4] 在实践中，速度调节器得到了进一步的改进，特别是美国科学家威拉德·吉布斯，他在1872年对瓦特的圆锥摆调节器进行了理论分析。

大约在这个时候，怀特海鱼雷的发明提出了一个控制问题，需要精确控制运行深度。仅仅使用深度压力传感器是不够的，测量鱼雷前后俯仰的摆锤与深度测量结合起来成为摆锤和水静力学控制。压力控制仅提供比例控制，如果控制增益太高，将变得不稳定并进入过冲，深度保持相当不稳定。钟摆增加了现在所谓的微分控制，它通过探测鱼雷的俯冲/爬升角度以及深度变化率来抑制振荡。^[6] 这一发展(由怀特海命名为 《秘密》没有给出它的行动的线索)大约是在1868年。^[7]

另一个早期的PID型控制器的例子是Elmer Sperry在1911年为船舶转向开发的，尽管他的工作是直观的，而不是基于数学的。^[8]

然而，直到1922年，俄裔美籍工程师尼古拉斯·米诺斯基（Nicolas Minorsky）才通过理论分析，首次提出了一种形式化的PID控制法或三项控制法^[9]。米诺斯基（Minorsky）当时正在为美国海军研究和设计自动船舶转向系统，并基于他的分析结果，分析舵手的观察结果。他指出，舵手不仅根据当前航向误差，还根据过去的误差以及当前的变化率来操纵船舶^[10]；[10]然后，米诺斯基对这一点进行了数学处理^[4]。他的目标是稳定性，而不是一般控制，这大大简化了问题。虽然比例控制提供了对小扰动的稳定性，但它不足以处理稳定扰动，特别是刚性大风（由于稳态误差），需要添加积分项。最后，增加了导数项以提高稳定性和控制性。

在新墨西哥号USS上进行了试验，控制器控制方向舵的角速度（而不是角度）。PI控制产生±2°的持续偏航（角误差）。添加D项产生的偏航误差为±1/6°，比大多数舵手所能获得的结果更好。

由于人员的抵抗，海军最终没有采用该系统。20世纪30年代，其他一些人也进行了类似的工作，并出版了这本书。

2.2 工业控制

直到宽带高增益放大器发展到使用负反馈的概念，反馈控制器的广泛使用才变得可行。这是哈罗德·布莱克在20世纪20年代后期在电话工程电子学中开发的，但直到1934年才出版。^[4] 福克斯波罗公司的克里斯森·梅森(Clesson E Mason)于1930年独立发明了一种宽带气动控制器，将1914年发明的喷嘴和挡板高增益气动放大器与控制器输出的负反馈结合起来。这极大地增加了喷嘴和挡板放大器的线性工作范围，还可以通过使用精密放气阀和产生积分项的波纹管来增加积分控制。结果是“稳定”控制器使用反馈波纹管提供比例和积分功能。^[4] 积分项被称为 重置。^[11] 后来，微分项又增加了一个波纹管和可调孔。

从大约1932年起，宽带气动控制器在各种控制应用中的使用迅速增加。压缩空气既用于产生控制器输出，也用于为过程调节装置提供动力，例如隔膜操作的控制阀。 它们是简单的低维护设备，在恶劣的工业环境中运行良好，并且在危险场所不存在爆炸风险。在离散电子控制器和分布式控制系统出现之前的几十年里，它们一直是行业标准。

利用这些控制器，建立了3–15 psi（0.2–1.0 bar）的气动工业信号标准，该标准具有升高的零点，以确保装置在其线性特性范围内工作，并代表0-100%的控制范围。

在1950年代，当高增益电子放大器变得便宜和可靠时，电子PID控制器变得流行，并且使用4-20mA电流回路信号来模拟气动标准。然而，现场致动器仍然广泛使用气动标准，因为气动动力在加工厂环境中用于控制阀的优点。

工业上大多数现代的PID控制都是用分布式控制系统(DCS)、可编程逻辑控制器(PLC)或离散紧凑控制器中的计算机软件来实现的。

2.3 电子模拟控制器

电子模拟PID控制回路经常出现在更复杂的电子系统中，例如磁盘驱动器的磁头定位、电源的功率调节，甚至现代地震仪的运动检测电路。离散电子模拟控制器在很大程度上已经被使用微控制器或FPGA来实现PID算法的数字控制器所取代。然而，离散模拟PID控制器仍然用于需要高带宽和低噪声性能的特殊应用，例如激光二极管控制器。^[12]

让我们以机器人手臂为例，^[13] 可以被控制回路移动和定位。电动马达可以提升或降低手臂，这取决于所施加的正向或反向动力，但是由于手臂的惯性质量、重力、手臂上的外力(例如要提升的负载)或要在外部物体上完成的工作，动力不能是简单的位置函数。

• 感测到的位置是过程变量。
• 所需位置称为设定点。
• PV和SP之间的差异是误差(e)，它量化了手臂是太低还是太高以及差多少。
• 过程的输入(电机中的电流)是PID控制器的输出。它被称为“操纵变量”或“控制变量”。

通过测量位置(PV)，并从设定点(SP)减去它，计算出误差(e)，并且控制器从它计算提供给电机的电流(MV)。

3.1 比例

最明显的方法是比例控制:电机电流与现有误差成比例设置。然而，如果手臂必须举起不同的重量，这种方法就失败了:较大的重量需要对相同的误差施加较大的向下的力，但如果误差是向上的，则需要较小的力。这就是积分项和微分项发挥作用的地方。

3.2 积分

积分项不仅增加了与误差相关的作用，还增加了它持续的时间。因此，如果施加的力不足以使误差为零，这个力会随着时间的推移而增加。纯“I”控制器可以使误差为零，但是，它在开始时反应缓慢(因为动作在开始时很小，需要时间才能变得显著)和野蛮(只要误差为正，动作就会增加，即使误差已经开始接近零)。

3.3 微分

微分项不考虑误差(意味着它不能使其为零:纯D控制器不能使系统达到其设定点)，而是考虑误差的变化率，试图使该速率为零。它旨在将误差轨迹展平成一条水平线，衰减所施加的力，从而减少过冲(另一侧的误差是因为施加的力太大)。当误差小且减小时，施加过多的动力将导致过冲。过冲之后，如果控制器在相反的方向上应用大的校正，并且反复过冲期望的位置，输出将以恒定的、增长的或衰减的正弦曲线围绕设定点振荡。如果振荡幅度随时间增加，系统就不稳定。如果它们减少，系统是稳定的。如果振荡的幅度保持不变，系统就处于临界稳定状态。

3.4 控制阻尼

为了及时准确地实现受控系统到达期望位置，需要对受控系统进行严格阻尼控制。经过良好调节的位置控制系统还将向受控电机施加必要的电流，以便臂在必要时推拉，抵抗试图将其移离所需位置的外力。设定点本身可以由外部系统产生，例如可编程逻辑控制器或其他计算机系统，使得它根据机械臂预期要做的工作而连续变化。经过良好调整的PID控制系统将使机械臂尽最大能力满足这些不断变化的要求。

3.5 对干扰的反应

如果控制器从零误差(PV = SP)的稳定状态开始，那么控制器的进一步改变将响应于对过程的其他测量或未测量输入的改变，从而影响过程的PV。除mV外，影响过程的变量称为干扰。通常，控制器用于抑制干扰和实现设定点变化。机械臂上负载的变化对机械臂控制过程构成干扰。

3.6 应用

理论上，控制器可以用来控制任何具有可测量输出(PV)、该输出的已知理想值(SP)和将影响相关PV的过程输入(MV)的过程。控制器在工业中用于调节温度、压力、力、进料速度，^[14] 流速、化学成分(成分浓度)、重量、位置、速度，以及几乎所有其他存在测量值的变量。

本节描述了PID控制器的并行或非交互形式。

PID控制方案以其三个校正项命名，它们的和构成了操纵变量(MV)。比例项、积分项和微分项相加来计算PID控制器的输出。定义    PID算法的最终形式为

这里

   比例增益，调谐参数，

   积分增益，调谐参数，

   微分增益，调谐参数，

   误差(速度是设定值，PV(t)就是过程变量)，

   是时间或瞬时时间(现在)，

   是积分变量(从时间0到现在取值   )

PID控制器在拉普拉斯域的传递函数为:

这里    是复频率。

4.1 比例项

比例项产生与当前误差值成比例的输出值。比例响应可以通过误差乘以常数来调整 K_p，称为比例增益常数。

比例项由下式给出

对于给定的误差变化，高比例增益会导致输出发生很大变化。如果比例增益太高，系统可能变得不稳定。相比之下，小增益导致对大输入误差的小输出响应，造成控制器响应较小。如果比例增益太低，当响应系统扰动时，控制动作可能太小。调谐理论和工业实践表明，比例项应该是产出变化的主要部分。

稳态误差

因为需要非零误差来驱动它，所以通常使用所谓的 稳态误差。 稳态误差与处理增益成正比，与比例增益成反比。SSE可以通过在设定点和输出上增加补偿偏差项来缓解，或者通过增加积分项来动态修正。

4.2 积分项

积分项的作用与误差大小和误差持续时间成正比。PID控制器中的积分是一段时间内瞬时误差的总和，并给出了本应事先校正的累计偏移量。累积误差然后乘以积分增益(K_i)并添加到控制器输出。

积分项为

积分项加速了过程向设定点的移动，消除了纯比例控制器出现的稳态误差。然而，由于积分项响应过去累积的误差，它可能导致当前值超过设定值。

4.3 微分项

通过确定误差随时间的斜率并将该变化率乘以微分增益来计算过程误差的微分 K_d。微分项对整个控制作用的贡献大小被称为微分增益， K_d。

微分项由下式给出

微分作用预测系统行为，从而改善系统的建立时间和稳定性。^[15][16] 理想的微分不是因果关系的，因此PID控制器的实现包括对微分项的附加低通滤波，以限制高频增益和噪声。然而，微分作用在实践中很少使用——据估计，只有25%的控制器使用微分作用 –因为它对现实应用中的系统稳定性有不同的影响。

调谐 控制回路是将控制参数(比例度/增益、积分增益/复位、微分增益/速率)调整到所需控制响应的最佳值。稳定性(无无界振荡)是一个基本要求，但除此之外，不同的系统有不同的行为，不同的应用有不同的要求，而且要求可能会相互冲突。

PID调试是一个困难的问题，尽管只有三个参数，而且原则上很容易描述，因为它必须满足PID控制限制内的复杂标准。因此，有各种环路调谐方法，更复杂的技术是专利的主题；本节描述了一些传统的手动环路调谐方法。

PID控制器的设计和调试在概念上看起来很直观，但是如果要实现多个(并且经常是相互冲突的)目标，例如瞬态和高稳定性，实际上可能很困难。PID控制器通常会使用预设的调优来提供可接受的控制，但若调优不佳，性能可能无法接受。通常，初始设计需要通过计算机模拟反复调整，直到闭环系统根据需要执行。

一些过程具有一定程度的非线性，因此当过程从空载开始时，在满载条件下工作良好的参数不起作用；这可以通过增益调度(在不同的操作区域使用不同的参数)来纠正。

5.1 稳定性

如果PID控制器参数(比例项、积分项和微分项的增益)选择不正确，受控过程输入可能不稳定，即其输出发散，有或没有振荡，仅限于饱和或机械破坏。不稳定是由过量增益引起的，特别是在存在明显滞后的情况下。

一般来说，响应的稳定性是必需的，并且对于过程条件和设定点的任何组合，过程不得振荡，尽管有时边际稳定性(有界振荡)是可接受的或期望的。

数学上，不稳定的起源可以在拉普拉斯域中看到。^[17]

总环路传递函数为:

这里

   PID传递函数

   设备传递函数

该系统称为不稳定系统，其中闭环传递函数对某些系统发散。^[17] 这发生在   的情况下。通常，这发生在以下情况    相移为180度。稳定性在   情况下得到保证 ，对于频率高相移的频率。这种效果的更一般的形式主义被称为“奈奎斯特稳定判据”。

5.2 最佳行为

过程变化或设定点变化的最佳行为因应用而异。

两个基本要求是 管理 (干扰抑制 –保持在给定的设定点)和 命令跟踪 (实现设定点变化) –这些是指受控变量跟踪期望值的程度。命令跟踪的具体标准包括上升时间和建立时间。例如，如果不安全，则这些过程的过程变量不允许超过设定值。其他过程必须使达到新设定点所消耗的能量最小。

5.3 调谐方法概述

有几种方法可以调整PID回路。最有效的方法通常包括开发某种形式的过程模型，然后根据动态模型参数选择P、I和D。手动调谐方法可能相对耗时，特别是对于具有长循环时间的系统。

方法的选择在很大程度上取决于环路是否可以脱机进行调谐，以及系统的响应时间。如果系统可以离线，最佳的调谐方法通常包括使系统经历输入的阶跃变化，测量输出作为时间的函数，并使用该响应来确定控制参数。

5.4 人工调谐

如果系统必须保持在线，一种调整方法是首先设置    和    值为零。增加    直到环路的输出振荡，然后    应该被设置为“四分之一振幅衰减”类型响应值的大约一半。然后增加    直到在足够的时间内校正了任何偏移。然而，太大的    会导致不稳定。最后，如果需要增加   ，直到负载扰动后环路可接受地快速达到其参考值。然而，太大的    会导致过度响应和过冲。快速PID回路调整通常会稍微过冲，以便更快地达到设定点；然而，一些系统不能接受过冲，在这种情况下，需要一个过阻尼闭环系统，这将需要设置一个    ，明显小于导致振荡的   的一半。

5.5 齐格勒－尼科尔斯方法

另一种启发式调谐方法被正式称为“齐格勒－尼科尔斯方法”，由约翰·齐格勒和纳撒尼尔·尼科尔斯在20世纪40年代引入。与上面的方法一样    和    增益首先被设置为零。比例增益增加直到达到最终增益，   此时环路的输出开始振荡。    和振荡周期    用于设置增益，如下所示:

这些增益适用于理想的并行PID控制器。当应用于标准PID形式时，只有积分和微分时间参数    和    取决于振荡周期   。

5.6 科恩-库恩参数

该方法开发于1953年，基于一阶+时滞模型。类似于齐格勒－尼科尔斯方法，开发了一组调谐参数，以产生1/4衰减比的闭环响应。可以说，这些参数的最大问题是工艺参数的微小变化可能导致闭环系统变得不稳定。

5.7 继电器(Åström–Hägglund)方法

卡尔·约翰·斯特罗姆和托雷·赫格隆德于1984年出版，^[21] 继电器方法使用开关控制来临时操作过程，并测量产生的振荡。 输出在控制变量的两个值之间切换(就像通过继电器一样，因此也是名称)。 必须选择这些值，以便过程将越过设定点，但不必是0%和100%；通过选择合适的值，可以避免危险的振荡。

只要过程变量低于设定值，控制输出就被设置为较高的值。 一旦它上升到设定点以上，控制输出就被设置为较低的值。 理想情况下，输出波形接近方形，在设定点上下花费相同的时间。 测量所得振荡的周期和振幅，并用于计算最终增益和周期，然后输入到齐格勒－尼科尔斯方法。

具体来说，假设最终的时期    等于观测周期，最终增益计算公式为    这里 a 是过程变量振荡的振幅 b 是导致它的控制输出变化的幅度。

继电器方法有许多变体。^[22]

5.8 一阶和死区模型

一阶过程的传递函数为:

这里k_p 是,,τ_p 是时间常数，θ是死区时间，u(s)是阶跃变化输入。将此传递函数转换为时域:

使用与上面相同的参数。

当使用这种方法应用足够大的阶跃变化输入以测量输出时，这一点很重要；然而，过大的阶跃变化会影响工艺稳定性。此外，更大的阶跃变化将确保输出不会因干扰而变化(为了获得最佳结果，在执行阶跃测试时，尽量减少干扰)。

确定一阶过程参数的一种方法是使用63.2%的方法。在这种方法中，处理增益(k_p)等于输出的变化除以输入的变化。停滞时间(θ)是阶跃变化发生和输出首次变化之间的时间量。时间常数(τ_p)是阶跃变化后输出达到新稳态值的63.2%所需的时间。使用这种方法的一个缺点是，如果过程具有很大的时间常数，达到新的稳态值可能需要一段时间。 ^[23]

5.9 PID调节软件

大多数现代工业设备不再使用上面所示的手动计算方法来调节回路。相反，PID调节和回路优化软件确保结果一致。这些软件包将收集数据，开发过程模型，并建议最佳调整参数。一些软件包甚至可以通过从参考变化中收集数据来开发调优。

数学PID回路调整会在系统中产生一个脉冲，然后利用受控系统的频率响应来设计PID回路值。在响应时间为几分钟的环路中，建议使用数学环路调谐，因为反复试验可能需要几天才能找到环路值的稳定集值。最佳值很难找到。一些数字回路控制器提供自校正特性，其中非常小的设定点变化被发送到过程，允许控制器本身计算最佳校正值。

另一种方法是通过齐格勒－尼科尔斯方法计算初始值，并使用数值优化技术来找到更好的PID系数。^[24]

根据不同的性能标准，可以使用其他公式来调整循环。许多专利公式现在嵌入到PID调节软件和硬件模块中。^[25]

自动PID回路调谐软件的进步也提供了在动态或非稳态(NSS)情况下调谐PID回路的算法。该软件将通过干扰对过程的动态进行建模，并计算相应的PID控制参数。^[26]

PID控制器可以应用于许多控制问题，并且在没有任何改进或只有粗调的情况下，其性能通常是令人满意的，但是在某些应用中，它们的性能可能很差，并且通常不能提供 最佳的 控制。PID控制的根本难点在于它是一个反馈控制系统，具有 常数 参数，并且没有直接的过程知识，因此整体性能是反应性的和折衷的。PID控制在没有过程模型的观测器中是最好的控制器，但若不依靠观测器，而公开的建模过程的参与者，可以获得更好的性能。

当PID控制器单独使用时，当PID回路增益必须降低以使控制系统不会过冲、振荡或搜寻控制设定值时，会产生不良的性能。它们在非线性的情况下也有困难，可能在调节和响应时间之间进行权衡，对变化的过程行为不作出反应(例如，过程在变暖后发生变化)，并且在响应大的扰动时有滞后。

最显著的改进是将前馈控制与关于系统的知识结合起来，并且仅使用PID来控制误差。另外，PID可以用更小的方式修改，例如通过改变参数(在不同使用情况下的增益调度或者基于性能自适应地修改它们)、改进测量(更高的采样速率、精度和准确度，以及必要时的低通滤波)，或者级联多个PID控制器。

6.1 线性

PID控制器面临的另一个问题是它们是线性的，特别是对称的。因此，非线性系统(如暖通空调系统)中PID控制器的性能是可变的。例如，在温度控制中，一个常见的使用情况是主动加热(通过加热元件)但被动冷却(加热关闭，但不冷却)，因此过冲只能缓慢纠正，不能强制向下。在这种情况下，应该将PID调至过阻尼，以防止或减少过冲，尽管这会降低性能(增加建立时间)。

6.2 微分中的噪声

微分项的问题是它放大了较高频率的测量值或过程噪声，这些噪声会导致输出的很大变化。用低通滤波器对测量值进行滤波，以去除高频噪声成分，这通常很有帮助。由于低通滤波和微分控制可以相互抵消，所以滤波量是有限的。因此，低噪声仪器非常重要。可以使用非线性中值滤波器，这提高了滤波效率和实际性能。^[27] 在某些情况下，关闭查分选项，几乎不会失去控制。这相当于使用PID控制器作为PI控制器。

基本的PID算法在控制应用中提出了一些挑战，这些挑战已经通过对PID形式的微小修改来解决。

7.1 积分饱和

理想PID实现的一个常见问题是积分饱和。设定点发生较大变化后，积分项会累积一个大于调节变量最大值的误差(饱和)，因此系统会过冲并继续增加，直到该累积误差被消除。这个问题可以通过以下方式解决:

• 禁用集成，直到测量值进入可控区域
• 防止积分项累积在预定界限之上或之下
• 反算积分项，将调节器输出限制在可行范围内。^[28]

7.2 已知干扰的过冲

例如，PID回路用于控制系统稳定的工业炉：电阻炉的温度。当门被打开放入一些冷的东西到炉子时，温度下降到设定点以下。控制器的积分函数倾向于通过在正方向引入另一个误差来补偿误差。这种过冲可以通过在门打开后控制回路通常需要重新加热炉子的时间内冻结积分函数来避免。

7.3 PI控制器

比例积分控制器(PI controller)是PID控制器中不使用误差微分(D)的特殊情况。

控制器输出由下式给出

这里    实际测量值的误差或偏差(光伏)从设定点(SP)中。

PI控制器可以在Simulink或Xcos等软件中使用拉普拉斯算子的“流程图”框轻松建模:

这里

   比例增益

   积分增益

为设置值    通常是减少过冲和增加建立时间之间的折衷。

在噪声数据的情况下，微分作用的缺乏可能使系统在稳态下更加稳定。这是因为微分作用对输入中的高频项更敏感。

如果没有微分的作用，PI控制系统对真实(无噪声)的响应较小，状态变化相对较快，因此系统达到设定点的速度较慢，对扰动的响应较慢。

7.4 死区

许多PID回路控制机械装置(例如，阀门)。机械维护可能是一项主要成本，磨损会导致对输入信号的机械响应中出现静摩擦或反冲形式的控制退化。机械磨损率主要是设备被激活进行改变的频率的函数。当磨损是一个重要问题时，PID回路可能有一个输出死区来降低输出(阀门)的激活频率。如果变化很小(在定义的死区范围内)，则通过修改控制器来保持其输出稳定来实现。计算出的产量必须在实际产量发生变化之前离开死区。

7.5 设定点阶跃变化

当系统受到误差的瞬时阶跃增加(如大的设定点变化)时，比例项和微分项会在输出中产生过度变化。在微分项的情况下，这是由于对误差取微分，这在瞬时阶跃变化的情况下非常大。因此，一些PID算法包含以下一些修改:

设定点斜坡

在此修改中，设定点使用线性或一阶微分斜坡函数从其旧值逐渐移动到新指定值。这避免了简单阶跃变化中出现的不连续性。

过程变量微分

在这种情况下，PID控制器测量被测过程变量的微分，而不是误差的微分。该量始终是连续的(即，从未因设定点改变而产生阶跃变化)。这种修改是设定点加权的简单情况。

设定值加权

设定点加权在控制器的比例和微分元件的误差设定点上增加了可调节的因子(通常在0和1之间)。积分项中的误差必须是真实的控制误差，以避免稳态控制误差。这两个额外的参数不影响对负载扰动和测量噪声的响应，并且可以调整以改善控制器的设定点响应。

7.6 前馈

通过将PID控制器的反馈(或闭环)控制与前馈(或开环)控制相结合，可以提高控制系统的性能。关于系统的知识(例如期望的加速度和惯性)可以被前馈并与PID输出相结合，以提高整体系统性能。前馈值通常可以单独提供控制器输出的主要部分。PID控制器主要必须补偿任何差异或 错误 保持在设定点(SP)和系统对开环控制的响应之间。由于前馈输出不受过程反馈的影响，因此永远不会导致控制系统振荡，从而在不影响稳定性的情况下改善系统响应。前馈可以基于设定点和额外测量的扰动。设定值加权是前馈的一种简单形式。

例如，在大多数运动控制系统中，为了加速控制下的机械负载，执行器需要更多的力。如果使用速度回路PID控制器来控制负载的速度并命令执行器施加的力，则有利于获取所需的瞬时加速度，适当地缩放该值并将其添加到PID速度回路控制器的输出中。这意味着，每当负载被加速或减速时，无论反馈值如何，执行器都会发出一定比例的力。在这种情况下，PID回路使用反馈信息来改变组合输出，以减少过程设定点和反馈值之间的剩余差异。结合开环前馈控制器和闭环PID控制器，可以提供更灵敏的控制系统。

7.7 无扰动操作

PID控制器通常使用“无扰动”初始化功能来实现，该功能重新计算积分累加器项，以通过参数更改保持一致的过程输出。^[29] 部分实现是存储积分增益乘以错误的积分，而不是存储通过积分增益实现误差积分和后乘，避免了I增益变化时的不连续输出，而不是P或D增益。

7.8 其他改进

除了前馈之外，PID控制器通常还通过PID增益调度（在不同运行条件下改变参数）、模糊逻辑或计算动词逻辑等方法得到增强（ computational verb logic）。^[30][31] 与控制器相连的仪表可能会产生更多的实际应用问题。为了获得足够的控制性能，需要足够高的采样率、测量精度和测量精度。另一种改进PID控制器的新方法是利用分数阶来提高控制器的自由度。积分器和微分器的顺序增加了控制器的灵活性。^[32]

PID控制器的一个显著优点是两个PID控制器可以一起使用，以获得更好的动态性能。这被称为级联PID控制。在串级控制中，有两个PID，其中一个PID控制另一个的设定点。PID控制器作为外环控制器，控制主要物理参数，如液位或速度。另一个控制器作为内环控制器，读取外环控制器的输出作为设定值，通常控制更快速变化的参数、流量或加速度。通过使用级联PID控制器，可以从数学上证明控制器的工作频率增加，对象的时间常数减少。

例如，一个温控循环槽有两个串级PID控制器，每个控制器都有自己的热电偶温度传感器。外部控制器使用一个远离加热器的热电偶来控制水的温度，在那里它可以精确地读取大部分水的温度。该PID控制器的误差项是期望浴温和测量温度之间的差。外部PID控制器不是直接控制加热器，而是为内部PID控制器设置加热器温度目标。内部PID控制器使用连接到加热器的热电偶控制加热器的温度。内部控制器的错误项是加热器温度设定点和加热器测量温度之间的差异。其输出控制实际加热器保持在该设定点附近。

两个控制器的比例项、积分项和微分项将非常不同。外部PID控制器具有较长的时间常数-水箱中的所有水需要加热或冷却。内环反应更快。每个控制器都可以调整以匹配其控制的系统的物理特性——整个水箱或加热器的传热和热质量——从而提供更好的总响应。

9.1 标准与平行(理想)PID形式

PID控制器的形式是工业上最常见的，而与整定算法最相关的是标准形式。在这种形式下    增益应用于   ，和    遵从:

这里

   是 积分时间

   是 微分时间

在本标准格式中，参数具有明确的物理意义。特别是，内部求和产生了一个新的单一误差值，它可以补偿未来和过去的误差。比例误差项是当前误差。微分项试图预测误差值    假设环路控制保持不变，在未来的秒(或样本)。积分部件调整误差值以补偿所有过去误差的总和，目的是在    秒(或样本)。得到的补偿后的单个误差值随后被单个增益缩放    计算控制变量。

以并行形式，如控制器理论部分所示

增益参数与标准形式的参数有关，通过    和   。这种将参数视为简单增益的并行形式是最通用、最灵活的形式。然而，它也是参数具有最小物理解释的形式，并且通常保留用于PID控制器的理论处理。标准形式，尽管数学上稍微复杂一点，但在工业中更常见。

9.2 反向增益，A.K.A.比例带

在许多情况下，PID控制器的操纵变量输出是在0和某个最大可能值的100%之间的无量纲分数，并且转换成实际单位(例如泵送速率或加热器功率的瓦特)在PID控制器之外。然而，过程变量是以温度等尺寸单位表示的。在这种情况下，通常表示增益    不是作为“每度输出”，而是以 比例度   ，即“每满输出度”:输出从0变化到1 (0%到100%)的范围。 超出此范围，输出饱和、全关或全开。 这个频带越窄，比例增益越高。

9.3 基于测量值的微分作用

在大多数商业控制系统中，微分动作是基于过程变量而不是误差。也就是说，设定点的变化不会影响微分动作。 这是因为当设定点改变时，数字化版本的算法会产生一个不需要的大尖峰。如果设定点是恒定的，那么测量值的变化将与误差的变化相同。因此，这种修改对控制器响应过程扰动的方式没有影响。

9.4 基于测量值的比例作用

大多数商用控制系统也可选择仅基于过程变量的比例作用。这意味着只有积分动作响应设定点的变化。对算法的修改不会影响控制器对过程扰动的响应方式。将比例作用建立在测量值上，可以消除由于设定点突然改变而导致的输出瞬间的、可能非常大的变化。根据过程和调整，这可能有助于响应设定点步骤。

King^[33] 描述一种有效的基于图表的方法。

9.5 PID控制器的拉普拉斯形式

有时用拉普拉斯变换形式写PID调节器是有用的:

将PID控制器写成拉普拉斯形式，并具有受控系统的传递函数，使得容易确定系统的闭环传递函数。

9.6 级数/交互形式

PID控制器的另一种表示是级数，或 交互形式

其中参数与标准形式的参数相关，通过

  ,   ，和

随着

  。

这种形式本质上由串联的PD和PI控制器组成，并且使得早期(模拟)控制器更容易构建。当控制器后来变成数字的时候，许多人继续使用交互形式。

9.7 离散实现

在微控制器或可编程门阵列器件中设计PID控制器的数字实现的分析要求PID控制器的标准形式为 离散化。^[34] 一阶微分的近似由向后有限差分来实现。积分项用采样时间离散化   ，如下所示:

微分项近似为:

因此，通过对   进行微分，利用一阶导数和二阶导数的数值定义，求解   ，并最终得到单片机中实现离散PID控制器的速度算法：

s.t .   

下面是一个实现PID算法的简单软件循环:^[35]

previous_error = 0
integral = 0
loop:
  error = setpoint - measured_value
  integral = integral + error * dt
  derivative = (error - previous_error) / dt
  output = Kp * error + Ki * integral + Kd * derivative
  previous_error = error
  wait(dt)
  goto loop

在本例中，将在循环中维护的两个变量初始化为零，然后循环开始。通过从当前设定点（SP）中减去测量值（过程变量或PV）来计算当前误差。然后，计算积分值和导数值，并将这些值和误差与三个预设增益项（比例增益、积分增益和导数增益）结合，得出输出值。

在现实世界中，这是数模转换，并作为被操纵变量（MV）传递到受控制的过程中。当前错误存储在其他地方，以便在下一次微分中重复使用，然后程序等待直到自启动以来经过dt秒，然后循环再次开始，读取pv和设定点的新值，并计算错误的新值。^[35]

请注意，对于真实代码，“等待(dt)”的使用可能不合适，因为它没有考虑算法本身在循环过程中花费的时间，或者更重要的是，没有考虑延迟算法的任何抢占。

1. 唯一的例外是目标值与比例增益等于零时获得的值相同.
2. 比例积分微分（PID）控制设计的一个常见假设是，采用积分时间常数为微分时间常数的四倍。虽然这种选择是合理的，但是选择积分时间常数来获得这个值可能与这样一个事实有关：对于具有无滤波器导数项的理想情况，PID传递函数在分子中由两个实零和相等零组成.^[36]