时频分析

在信号处理中，时频分析^[3] 是一套用于表征和处理统计随时间变化的信号(如瞬态信号)的技术和方法。

虽然傅立叶变换技术可以进行扩展，从而获得任何缓慢增长的局部可积信号的频谱，但是这种方法需要对信号在所有时间内的行为进行完整的描述。事实上，人们可以把(频谱)频域中的点看作是将整个时域中的信息涂抹在一起。虽然这种技术在数学上很优雅，但不适用于分析未来行为不确定的信号。例如，一个人必须预先假定任何电信系统中某种程度的不确定未来行为，以使熵非零(如果一个人已经知道另一个人会说什么，那他就什么也学不到，此视熵即为零)。

为了利用频率表示的功率而不需要时域中的完整表征，首先获得信号的时频分布，该分布同时在时域和频域中表示信号。在这种表示中，频域将仅反映信号在局部时间内的行为。这使得人们能够理智地谈论成分频率随时间变化的信号。

例如，人们可以使用这些方法来描述具有时变频率的信号，而不是使用调和分布来将如下函数全局变换到频域。

一旦这样的表示出现，可以将时频分析中的其他技术应用于信号，如从信号中提取信息，将信号从噪声或干扰信号中分离出来等等。

2.1 规划

有几种不同的方法可以形成有效的时频分布函数，从而产生几种众所周知的时频分布，例如:

• 短时傅立叶变换(包括加博尔(Gabor)变换)，
• 小波变换
• 双线性时频分布函数(魏格纳分布函数，即 WDF)
• 修正的魏格纳分布函数、加博尔-魏格纳分布函数等
• 希尔伯特-黄变换

2.2 理想TF分布函数

理想的时频分布函数应具有以下特性:

1. 时间和频率的高分辨率，便于分析和解释。
2. 没有交叉项，以避免混淆真实组件以及伪像或噪声。
3. 一系列的理想数学属性以确保这些方法有益于实际应用。
4. 降低计算复杂度，以确保在时频平面上表示和处理信号所需的时间，从而实现实时实现。

下面是对一些选定的时频分布函数进行的简短比较。^[4]

为了更好地分析信号，选择合适的时频分布函数非常重要。应使用哪种时频分布函数取决于所考虑的应用，如查看应用列表所示。^[5]对于一些信号获得的维格纳分布函数(WDF)的高清晰度是由于其公式中固有的自相关函数；然而，后者也造成了交叉项问题。因此，如果我们想分析单个项的信号，使用魏格纳分布函数可能是最好的方法；如果信号由多个分量组成，其他一些方法如加博尔变换、加博尔-魏格纳分布或修正的B分布函数可能是更好的选择。

举例来说，傅立叶分析不能区分如下两个信号：

但是时频分析可以。

应用

以下应用不仅需要时频分布函数，还需要对信号进行一些操作。线性正则变换(LCT)非常有用。通过线性正则变换，我们可以任意决定信号在时频平面上的形状和位置。例如，线性正则变换可以将时间-频率分布移动到任何位置，在水平和垂直方向上放大它，而不改变它在平面上的面积，剪切(或扭曲)它，并旋转它(分数傅里叶变换)。线性正则变换使分析和应用时频分布更加灵活。

2.3 瞬时频率估计

瞬时频率的定义是相位变化的时间速率，可以用如下公式表达

   

其中     信号的瞬时相位。如果图像足够清晰，我们可以从时频平面直接知道瞬时频率。因为高清晰度是至关重要的，我们经常用魏格纳分布函数来分析它。

2.4 时频滤波和信号分解

滤波器设计的目标是去除信号中不需要的成分。按照惯例，我们可以只在时域或频域分别进行滤波，如下所示。

上述滤波方法不能很好地适用于可能在时域或频域重叠的每个信号。通过使用时频分布函数，我们可以在欧几里德时频域或分数域中使用分数傅里叶变换进行滤波。下面是一个例子。

时频分析中的滤波器设计总是处理由多个分量组成的信号，因此由于交叉项，不能使用魏格纳分布函数。相比之下，加博尔变换、加博尔-魏格纳分布函数或科恩的类分布函数可能是更好的选择。

信号分解的概念涉及将信号中的一个分量与另一个分量分离的需要；这可以通过需要过滤器设计阶段的滤波操作来实现。这种滤波传统上是在时域或频域中完成的；然而，在多分量的非平稳信号的情况下，这可能是不可能的，因为这些分量在时域和频域都可能重叠；因此，实现分量分离以及信号分解的唯一可能方法是实现时频滤波器。

2.5 抽样理论

根据奈奎斯特-香农采样定理，我们可以得出结论，没有混叠的最小采样点数等于信号的时频分布面积。(这实际上只是一个近似值，因为任何信号的时频面积都是无限的。)下面是我们将采样理论与时频分布相结合前后的一个例子:

值得注意的是，在我们应用时间-频率分布后，采样点的数量减少了。

当我们使用魏格纳分布函数时，可能会有交叉问题(也称为干扰)。另一方面，使用加博尔变换可以提高表示的清晰度和可读性，从而改进对实际问题的解释和应用。

因此，当我们倾向于采样的信号由单个分量组成时，我们使用魏格纳分布函数；然而，如果信号由一个以上的分量组成，使用加博尔变换、加博尔-魏格纳分布函数或其他减少干扰的时频分布可以获得更好的结果。

Balian-Low定理对此进行了形式化，并确定了所需最小时间频率样本数的下限。

2.6 调制和多路复用

传统上，调制和多路复用的操作分别集中在时间或频率上。通过利用时频分布，我们可以提高调制和复用的效率。我们所要做的就是填满时间-频率平面。我们举一个例子如下。

如上例所示，使用魏格纳分布函数并不明智，因为严重的交叉项问题使得复用和调制变得困难。

2.7 电磁波传播

我们可以用2行1列矩阵的形式来表示电磁波

   

这类似于时间-频率平面。电磁波在自由空间传播时，会发生菲涅耳衍射。我们可以用2行1列矩阵进行运算

   

线性正则变换用参数矩阵表达，

   

其中 z 是传播距离,    是波长。当电磁波通过球面透镜或被圆盘反射时，参数矩阵应该是

   

和

   

其中ƒ是透镜的焦距， r 是光盘的半径。这些相应的结果可以从中获得。

   

2.8 光学、声学和生物医学

光是电磁波的一种，所以我们把时频分析应用于光学，就像应用于电磁波传播一样。同样，声音信号的一个特征是，它的频率通常会随着时间的推移而剧烈变化。因为声信号通常包含大量数据，所以由于实时性要求高，故需要较低的计算复杂度，适合使用更简单的时频分布，如加博尔变换来分析声信号。如果速度不是问题，那么在选择特定的时频分布之前，应该与明确定义的标准进行详细比较。另一种方法是定义一个适合于特定数据的信号相关时频分布。在生物医学中，可以使用时频分布来分析肌电图（EMG）、脑电图(EEG)、心电图(ECG)或耳声发射(OAEs)。

历史

时间-频率分析的早期工作可以在阿尔佛雷德·哈尔的哈尔小波(1909)中看到，尽管这些小波当时并没有显著地应用于信号处理。丹尼斯·加博尔进行了更实质性的工作，例如早期形式的小波——加博尔原子(1947)，以及改进的短时傅立叶变换——加博尔变换。魏格纳-维尔分布(维尔1948，在信号处理的背景下)是另一个基础步骤。

特别是在20世纪30年代和40年代，早期的时频分析与量子力学一起发展起来(魏格纳在1932年在量子力学中发展了魏格纳-维尔分布，而加博尔受到量子力学的影响)；这反映在位置动量平面和时间频率平面的共享数学中，如海森堡测不准原理(量子力学)和加博尔极限(时间频率分析)，最终都反映了辛结构。

时频分析的早期实际动机是雷达的发展。