欧几里得群

1.1 维度

E(n)的自由度为n(n + 1)/2，在n = 2的情况下自由度等于3，n = 3的情况下自由度等于6。其中，n个自由度归因于可用的平移对称，其余n(n-1)/2个自由度归因于旋转对称。

1.2 直接和间接等距

直接等距(即保持旋向性子集的旋向性等距)包括一个E(n)子群，称为特殊欧几里德群，通常用 E⁺(n)或 SE(n)表示。它们包括平移和旋转变换及其组合；也包括单位变换，但不包括任何类型的反射变换。

反向旋性等距变换被称为“间接的”。对于任何固定的间接等距变换R，例如关于某个超平面的反射变换，其他间接等距变换都可以通过R与其他直接等距变换的组合得到。因此，间接等距变换是 E⁺(n),的陪集，可以用 E⁻(n).来表示。由此可见，子群 E⁺(n)在E(n)中的指数为2。

1.3 群的拓扑

欧几里得空间𝔼ⁿ的自然拓扑诱导了欧几里德群 E(n)的一个拓扑。也就是说， En的等距变换序列f_i 是收敛的当且仅当对𝔼ⁿ 的任意点p ，对应的序列pi（pi=fi(p）)是在𝔼ⁿ中收敛的(i∈ℕ)。

根据这一定义，可以得出如下结论:函数 f:[0,1]→E(n)是连续的，当且仅当，对于 𝔼ⁿ内的任意点p ，由 f_p(t) = (f(t))(p)定义的函数f_p:[0,1]→𝔼ⁿ 是连续的。这种函数在E(n)中被称为“连续轨道”。

可以证明，特殊欧几里德群SE(n) = E⁺(n) 在此拓扑中是连通的。也就是说，给定的任意两个𝔼ⁿ内的直接等距变换A 和B ，在E(n)中存在一个连续的轨道f，使得f(0) = A and f(1) = B.。间接等距变换 E⁻(n)亦是如此。另一方面，群E(n) 作为一个整体是不连通的: 因为不存在从E⁺(n) 开始到E⁻(n)结束的连续轨迹。

E(3)中的连续轨迹在经典力学中有着重要的作用，因为它们描述了刚体在三维空间中随时间推移可能发生的物理运动。假设f(0)是𝔼³内的单位变换1 ，描述了刚体的初始位置。刚体在任意时间t后的位置和方向可以用变换f(t)来描述，因为f(0)= 1在E⁺(3)中，在任意时间t后的f(t)亦是如此。因此，直接欧几里得等距变换也被称为“刚体运动”。

1.4 李结构

欧几里德群不仅是拓扑群，也是李群，因此微积分概念也全部适用。

1.5 和仿射群的关系

欧几里德群E(n)是n维空间仿射群的一个子群，也是两个群的一个半直积结构。这给出了用显式符号书写元素的两种方式。这些是:

1. 用一对 (A, b)表示，与A 是一个 n × n 的正交矩阵，b 是一个 n维实列向量
2. 用一个（ n + 1）×（n + 1）的方阵表示，这是仿射群给的解释。

第一个表示的细节将在下一节给出。

根据费利克斯·克莱因的埃尔兰根算法，我们得到欧式几何，欧式对称群几何是仿射几何的一个特例。因此，所有仿射定理均适用。欧式几何源于距离的概念的定义，故由距离可以诱导出角度的概念。

2.1 子群的结构，矩阵和向量表达

欧几里德群是仿射变换群的一个子群。

它具有平移群T(n)和正交群O(n)作为子群。E(n)的任何元素都是一个平移变换复合一个正交变换（等距的线性部分），以下面这种独特的方式：

其中A 是是一个正交矩阵或者同样的正交变换，b是一个平移

其中 c = Ab

t(n)是E(n)的正规子群：对于任何平移 t 和任何等距 u，

u ⁻¹ tu

是一个平移（可以说，这是一个通过u 作用于t的位移；因此等效地，位移是等距线性部分作用于t的结果 )

综上所述，这些事实意味着E(n)是由 T(n)扩展的O(n) 半直积，可以被写为  。换句换句话说，O(n)（自然方式）也是E(n)和T(n)的商群:

现在 SO(n) 这个特殊正交群是指数为2的 O(n)的子群。因此，E(n)具有子群E⁺(n)，指数也为2，通过直接等距作用。 在这些情况下，A的行列式是1。

它们可以看做是先平移后旋转，而不是先平移然后在做某种反射，（在维数为2和维数为3的情况下，这些是在镜像线或平面中的一般的反射，可以包括原点，或者是在3D中的旋转反射）。

这个关系一般写成：

或等价地:

 。

2.2 子群

E(n)的子群类型

有限群

这些变换总有一个不动点。 在3D中，每个点在包含关系下在每个方向上在有限群众有两个极大群：0 _h 和l _h。群l _h 在包括下一类别的群中甚至是最大的。

没有任意小平移、旋转或其组合的可数无限群

也就是说，对于每个点，等距下的像集在拓扑上是离散的（例如，对于 1 ≤ m ≤ n 由独立方向上的 m 个平移产生的群，并且很可能是有限点群）。 这包括格。 比这些更一般的例子是离散空间群。

具有任意小平移、旋转或其组合的可数无限群

也就是说，在这种情形，存在某些点在等距变换下像集的不是闭合的。例如，在一维空间中，由1和 √2生成的平移群，在二维空间中，由围绕原点旋转1弧度生成的旋转群。

满足存在某些点在等距变换下像集的不是闭合的不可数群

（例如，在2D中，在一个方向上的所有平移，以及在另一个方向上的平移了有理距离的所有平移）。

满足所有点在等距变换下的像集是闭合的不可数群

例如:

• 保持原点固定的所有直接等距，或者更一般地说，保持某些点固定的所有直接等距（在3D中被称为旋转群）
• 保持原点固定的所有等距，或者更一般地说，保持某些点固定的所有等距（正交群）
• 所有直接等距E⁺(n)
• 整个欧几里得群E(n)
• m维子空间中的上述例子的某一个群与正交(n−m)维空间中的离散等距群的组合
• m维子空间中的上述例子的某一个群与正交(n−m)维空间中的上述例子的某一个群的组合

3D中的组合示例：

• 围绕一个固定轴的所有旋转
• 围绕一个固定轴的所有旋转与通过轴的平面和/或垂直于轴的平面的反射的组合
• 围绕一个固定轴的所有旋转与沿轴的离散平移或沿轴的所有等距的组合
• 平面中的离散点群、带状群或壁纸群与垂直方向上的任何对称群的组合
• 所有围绕某个轴的旋转和沿轴的比例平移的组合的等距; 通常，这与围绕同一轴的k次旋转等距相结合(k ≥ 1)； 等距变换下点的像集是k次螺旋线；另外，可能存在围绕垂直相交的轴的2次旋转，因此存在这些轴的k次螺旋。
• 对于任何点群：所有等距群，它是点群中的等距和平移的组合; 例如，由在原点反向生成的群：它是所有平移的群和所有点的反向生成的群; 这就是R³的广义二面群，Dih(R³)。

2.3 维数小于等于3的等距的概述

E(1)、E(2)和E(3)可以按照自由度分类如下:

Chasles定理断言E⁺(3)的任何元素都是螺旋位移。

2.4 交换等距

某些等距组合不依赖与顺序：

• 绕同一轴的两个旋转或者螺旋
• 相对于平面的反射，以及该平面中的平移，围绕垂直于平面的轴的旋转，或相对于垂直平面的反射
• 相对于平面的平移反射，以及在该平面中的一个点上的反向平移以及保持该点固定的任何等距
• 绕轴180°的旋转和在平面中通过该轴的反射
• 绕轴180°旋转和绕垂直轴180°的旋转（结果是绕垂直两者的轴线旋转180度）
• 相对于同一平面，绕同一轴的两个旋转反射
• 相对于同一平面的两个滑动反射

2.5 共轭类

在给定方向上移动给定距离的平移形成一个共轭类，平移群就是所有给定距离共轭类的并集。

在1D中，所有反射都在同一类中。

在2D中，在任一方向上旋转相同角度的旋转都在同一类中。 具有相同距离平移的滑动反射在同一类中。

在3D中：

• 关于所有点的反向属于同一类。
• 相同角度的旋转属于同一类。
• 如果角度相同且平移距离相同，则围绕轴的旋转与沿该轴的平移的组合在同一类中。
• 平面中的反射属于同一类
• 平面中的反射与该平面中相同距离的平移的组合属于同一类。
• 围绕轴且不等于180°相同角度的旋转与平面中垂直于该轴的反射的组合属于同一类。