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科学记数法

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科学计数法(在英国也称为科学形式或标准指数形式，或标准形式)是一种因数字太大或太小而不方便用十进制书写的数字表示方式。科学家、数学家和工程师普遍使用它，部分原因是它可以简化某些算术运算。在科学计算器上，它通常被称为“SCI”显示模式。在科学计数法中，所有的数字都是以这种形式书写的m × 10 n

(m乘以10的n次方)，其中指数n是整数，系数m是任意实数。整数n称为数量级，实数m称为有效数或尾数。[1] 然而，术语“尾数”可能会引起混淆，因为它是常用对数的小数部分的名称。如果数字是负数，那么减号在m之前(如普通十进制记数法)。在标准计数法中，选择指数，使得系数的绝对值至少为1，但小于10。

十进制浮点是一种计算机算术系统，与科学记数法密切相关。

1 标准计数法编辑

任意给定的实数都可以用多种方式写成m × 10n的形式:例如，350可以写成3.5×102或35×101或350×100。

在标准化的科学计数法(在英国称为“标准形式”)中，选择指数n，使得m的绝对值保持至少为1但小于10(1 ≤ |m| < 10)。因此，350被写成 3.5×102。这种形式便于数字比较，因为指数n给出了数字的数量级。在标准计数法中，对于绝对值在0到1之间的数来说，它们的指数是负的（例如，0.5被写成 5×10−1)。当指数为0时，通常省略10和指数。

标准化的科学形式是许多领域中表示大数的典型形式，除非需要一种非标准化的形式，如工程计数法。标准化的科学记数法通常被称为指数记数法——尽管后一个术语更通用，并且当m不局限于1到10(例如在工程记数法中)和10以外的底数(例如 3.15×220)时也适用。

十进制表示法 科学计数法
2 2×100
300 3×102
4,321.768 4.321768×103 
−53,000 −5.3×104
6,720,000,000 6.72×109
0.2 2×10−1
987 9.87×102
0.000 000 007 51 7.51×10−9

2 工程计数法编辑

工程计数法(在科学计算器上通常称为“ENG”显示模式)不同于标准化的科学计数法，因为指数n被限制为3的倍数。因此，m的绝对值在1 ≤ |m| < 1000的范围内，而不是1 ≤ |m| < 10。尽管概念相似，工程计数法很少被称为科学计数法。工程计数法允许数字明确匹配它们相应的国际单位制前缀，这有利于阅读和口头交流。例如， 12.5×10−9 m 可以被读为“12.5纳米”，被书写为12.5nm，而其科学计数法相当于1.25×10−8 m 很可能被读为“1.25乘以10-8米负”。

3 有效数字编辑

有效数字是数字中的一个数字，它增加了数字的精度。这包括所有非零数字、有效数字之间的零以及表示有效的零。前导零和尾随零并不重要，因为它们的存在只是为了显示数字的大小。因此，1,230,400通常有五个重要数字：1，2，3，0和4；最后两个零仅用作占位符，不会增加原始数字的精度。

当一个数字被转换成标准化的科学计数法时，它被缩小到1到10之间的数字。所有有效数字都保留了下来，但不再需要保留零的位置。因此，1,230,400将变成1.2304 × 106 。然而，该数字也有可能有六位或者更多位有效数字，在这种情况下，该数字将表示为(例如)1.23040 × 106。因此，科学记数法的另一个优点是有效数字的数量更清楚。

3.1 估计最终数字

在科学测量中，习惯上记录测量中所有明确已知的数字，如果有任何信息使观察者能够做出估计，则估计至少一个额外的数字。所得数字包含的信息比没有该额外数字时要多，并且它(或它们)可以被认为是有效数字，因为它传达了一些信息，导致测量和测量集合(将它们相加或相乘)的更高精度。

关于精度的附加信息可以通过附加符号来传达。了解最终数字的准确程度通常很有用。例如，基本电荷单位的可接受值可以适当地表示为 1.6021766208(98)×10−19 C,[2] 这是 (1.6021766208±0.0000000098)×10−19 C的简写。

4 电子计数法编辑

计算器的显示屏显示电子计数法表示的阿伏伽德罗常数。

大多数计算器和许多计算机程序在科学记数法中给出非常大和非常小的结果，通常根据厂商和型号，用一个标有 EXP (代表指数)， EEX (代表输入指数)， EE, EX, E，或 ×10x 的键调用。因为像107 这样的上标指数不能总是方便地显示，字母E(或e)通常用来表示“乘以提升到多少数量级的10”(将被写成“×10n“)，后跟指数的值；换句话说，对于任意两个实数m和n，使用“mEn”表示 m × 10n的值。在这个用法中，字符E与数学常数e或指数函数 ex 无关(如果科学符号用大写字母E表示，则不太可能产生混淆)。虽然E代表指数，但这种计数法通常被称为(科学的)电子计数法，而不是(科学的)指数计数法。电子计数法的使用有助于文本通信中的数据输入和可读性，因为它最大限度地减少了击键次数，避免了字体大小的减小，并提供了更简单和更简洁的显示，但在某些出版物中并不鼓励这样做。[3]

4.1 示例和其他计数法

  • 在大多数流行的编程语言中，6.022E23(或6.022e23)相当于6.022×1023，1.6×10-35将被写成1.6E-35(例如Ada、Analytica、C/C++、FORTRAN(自1958年FORTRAN II起)、MATLAB、Scilab、Perl、Java、Python、Lua、JavaScript等)。
  • 在1972年引入第一个支持科学记数法的袖珍计算器(HP-35，SR-10)后，decapower 这个术语有时在新兴用户群体中使用，以便更好地将其与“正常”指数区分开来。同样，字母“D”也用于用计算机打出的数字。这种符号是由吉姆·戴维森(Jim Davidson)提出的，发表在1976年1月号的理查德·纳尔逊(Richard J. Nelson)的惠普通讯第65注释，对于HP-65的用户，1976年11月由面向SR-52用户的52注释通讯的编辑理查德·范德堡(Richard C. Vanderburgh)采用并延续到德州仪器社区。
  • FORTRAN(至少从1961年FORTRAN IV开始)也用“D”来表示科学计数法中的双精度数字。
  • 类似地，在1987年至1995年期间，夏普便携式电脑PC-1280、PC-1470U、PC-1475、PC-1480U、PC-1490UII、PC-E500、PC-E500S、PC-E550、PC-E650和PC-U6000使用“D”表示科学计数法中的20位双精度数字。
  • ALGOL 60 (1960)编程语言使用下标十“10”字符代替字母E，例如:6.0221023。
  • 在各种Algol标准中使用“10”对一些没有提供这种“10”字符的计算机系统提出了挑战。因此，斯坦福大学Algol-W算法要求使用单引号，例如6.02486'+23，一些苏联Algol算法变体允许使用西里尔字符“ю”字符，例如6.022ю+23.
  • 随后，ALGOL 68编程语言提供了4个字符的选择:E，e，\，或者10。例如:6.022E23、6.022e23、6.022\23或6.0221023。
  • 十进制指数符号是Unicode标准的一部分，例如6.022⏨23.它作为U+23E8 ⏨十进制指数符号包含在内，以适应Algol 60和Algol 68编程语言的使用。
  • TI-83系列和TI-84 Plus系列计算器使用程式化的E字符来显示十进制指数，使用10字符来表示等效的×10^运算符。
  • Simula编程语言需要使用&（或者&&），例如:6.022&23(或6.022&&23)。
  • Wolfram语言(在Mathematica中使用)允许6.022*^23.的简写(相反，E表示数学常数e)。

5 数量级编辑

科学记数法还能进行更简单的数量级比较。一个质子的质量是0.00000000000000000000000000000016726千克。如果写为 1.6726×10−27 kg，就更容易将此质量与电子质量进行比较，如下所示。质量比的数量级可以通过比较指数而不是计算更容易出错的前导零的任务来获得。在这种情况下，-27比-31大，因此质子大约比电子大四个数量级(10，000倍)。

科学记数法也避免了由于某些数量词的区域差异而引起的误解，例如十亿，它可能表示为109 或者1012。

在物理学和天体物理学中，两个数之间的巨大的数量级有时被称为“dex”，是“十进制指数”的缩写。例如，如果两个数字在1 dex以内，那么大数字与小数字的比值小于10。可以使用分数值，因此如果在0.5 dex内，比率小于100.5，依此类推。

6 空间的使用编辑

在标准化的科学计数法、电子计数法和工程计数法中，仅在“×”前后或“E”前面的空间(在排版中可由正常宽度空间或薄空间表示)有时被允许省略，尽管在字母字符之前这样做不太常见。[4]

7 更多科学计数法的例子编辑

  • 一个电子的质量大约是0.00000000000000000000000000000000000910938356千克。[4] 用科学计数法表示为 9.10938356×10−31 kg (国际单位制)。
  • 地球的质量约为597240000000000000000000000000千克。[4] 用科学记数法，表示为 5.9724×1024 kg。
  • 地球的周长约为40000000米。[4] 在科学计数法中，表示为 4×107 m。在工程计数法中表示为40×106 m。在国际单位制的写法中，这可以写成40Mm(40兆米)。
  • 一英寸精确定义为25.4毫米。引用25.400毫米的值表示该值改到最接近的微米。只有两位有效数字的近似值将改为 2.5×101 mm 。由于有效数字的数量没有限制，如果需要，一英寸的长度可以改为(比如)2.54000000000×101 mm。

8 转换数字编辑

在这种情况下，转换一个数字意味着要么把数字转换成科学计数法形式，将它转换回十进制形式，或者改变式子的指数部分。这些都不会改变实际数字，只会改变它的表达方式。

8.1 十进制表示法到科学计数法

首先，将十进制分隔符点移动足够的位置n，以将数字的值放在所需的范围内，在1到10之间进行规范化表示。如果小数点向左移动，添加“× 10n“；向右移动，添加“× 10−n“。用标准的科学计数法表示数字1，230，400，十进制分隔符将向左移动6位并加上“× 106“，结果是 1.2304×106。数字0.0040321的十进制分隔符将向右而不是向左移动3位，结果产生 −4.0321×10−3 。

8.2 科学计数法到十进制表示法

将数字从科学记数法转换为十进制记数法，首先去掉末尾的 × 10n ，然后将十进制分隔符向右(正n)或向左(负n)移动n位。数字 1.2304×106 的十进制分隔符向右移动6位，变成1，230，400，而 −4.0321×10−3 的十进制分隔符向左移动3位，变成0.0040321。

8.3 指数

用不同的指数值表示相同数字的不同科学计数法之间的转换是通过对有效数执行十的乘除和对指数部分执行一的加减运算来实现的。有效数字中的十进制分隔符向左(或向右)移动x，x被加到指数上(或从中减去)，如下所示。

1.234×10 3 = 12.34×10 2 = 123.4×10 1 = 1234

9 基本操作编辑

给定科学计数法表示的两个数字，

  

和

  

乘法和除法使用指数运算规则执行：

  

和

  

一些例子是：

  

和

  

加法和减法要求数字用相同的指数部分表示，因此有效数字可以简单地相加或相减：

   和    随着   

接下来，将有效数字相加或相减：

  

一个例子：

  

10 其他底数编辑

虽然底数10通常用于科学计数法，但也可以使用其他底数的幂，[4] 底数2是下一个最常用的底数。

例如，在以2为底数的科学记数法中，二进制(=9d)中的数字1001b用二进制数写成1.001b × 2d11b 或1.001b × 10b11b(如果二进制背景明显，则缩写为1.001 × 1011 )。在电子记数法中，这被写成1.001bE11b(或缩写为:1.001E11)，字母E现在代表“乘以二(10b)的幂”。为了更好地区分这个底数为2的指数和底数为10的指数，底数为2的指数有时也用字母B代替E[4] 来表示，这是布鲁斯·艾伦·马丁(Bruce Alan Martin)在1968年首次提出的简写符号，[4] 如1.001bB11b (或更短:1.001B11)。为了比较，十进制表示中的相同数字:1.125 × 23 (使用十进制表示)，或1.125B3(仍然使用十进制表示)。有些计算器对二进制浮点数使用混合表示，其中指数即使在二进制模式下也显示为十进制数，因此上述数值变为1.001b × 10b3d 或缩写为1.001B3[4]。

这与计算机算术中常用的底数为2的浮点表示法以及IEC二进制前缀的使用密切相关(例如1×2的B1010 （kibi）表示1B10、1×220 （mebi）表示1B30、1×230 (gibi)表示1B30、1×240 (tebi)表示1B40）。

类似于 B (或 b[4])，字母H[4] (或 h[4])和 O[4] (或 o,[4] 或 C[4])有时也用来表示16或8次幂，如1.25 = 1.40h × 10h0h = 1.40H0 = 1.40h0，或98000 = 2.7732o × 10o5o = 2.7732o5 = 2.7732C5。[4]

另一种类似的表示底数为2的指数的惯例是使用字母P(或p代表“幂”)。在这个符号中，有效数字总是指十六进制，而指数总是指十进制。[4] 当使用%a或%A转换说明符时，该符号可以通过遵循C99规范和(单一Unix规范)IEEE Std 1003.1 POSIX标准的printf函数族的实现来产生。[4][4][4] 从C++11开始，C++输入输出函数也可以解析和打印P符号。与此同时，自C++17以来，该符号已被语言标准完全采用。[4] 苹果手机的Swift也支持它。[4] 这也是IEEE 754-2008二进制浮点标准所要求的。示例:1.3DEp42代表1.3DEh × 242。

工程计数法可以被看作是一种以1000为底数的科学计数法。

参考文献

  • [1]

    ^Yadin, Aharon (2016), Computer Systems Architecture, Chapman & Hall/CRC Textbooks in Computing, CRC Press, p. 68−69, ISBN 978-1482231069, archived from the original on 2016-11-22.

  • [2]

    ^"CODATA Value: Elementary charge e". CODATA 2014: The NIST Reference on Constants, Units, and Uncertainty: Fundamental Physical Constants. NIST. 2014-06-25. Archived from the original on 2017-06-25. Retrieved 2017-06-25..

  • [3]

    ^Edwards, John (2009), Submission Guidelines for Authors: HPS 2010 Midyear Proceedings (PDF), McLean, Virginia: Health Physics Society, p. 5, archived (PDF) from the original on 2013-05-15, retrieved 2013-03-30.

  • [4]

    ^Samples of usage of terminology and variants: "Archived copy" (PDF). Archived (PDF) from the original on 2008-12-17. Retrieved 2015-08-19.CS1 maint: Archived copy as title (link), [1], "Archived copy". Archived from the original on 2007-04-04. Retrieved 2007-04-07.CS1 maint: Archived copy as title (link), "Archived copy". Archived from the original on 2007-02-25. Retrieved 2007-04-07.CS1 maint: Archived copy as title (link), [2], [3] Archived 2015-05-03 at the Wayback Machine.

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