幂等

原群 (M, •) 中的元素 x 被称为是 幂等 的，如果:^[3][4]

x • x = x。

如果所有元素相对于•都是幂等的，则称•为幂等的。公式∀x, x • x = x 被称为•的幂等法则。^[5][6]

• 自然数1是一个关于乘法的幂等元素 (因为1×1 = 1)，0也是如此(因为0×0=0)，但是没有其他自然数是(例如2×2=2不成立)。由于后一个原因，自然数的乘法不是 幂等运算。更正式地说，在 独异点 （ℕ，×)，幂等元素只有0和1。
• 在原群 (M, •)中，一个 单位元素 e 或者一个 吸收元素 a（如果存在）是幂等的。实际上， e • e = e 和 a • a = a。
• 在群 (G, •)中，单位元素 e 是唯一的幂等元素。事实上，如果 x 是 G 的一个元素使得 x • x = x成立，那么 x • x = x • e ，最后通过左边乘以x的逆元素得到x = e 。

• 两个集合x和y的 交集 x∩y是幂等运算，因为 x∩x 永远等于 x。这意味着幂等法则∀x, x∩x = x是正确的。同样，取两个集合的并是幂等运算。形式上，在集合E的 幂集的幺半群（𝒫（E），∪）和（𝒫（E），∩）中分别有集合并集∪和集合交集∩，所有元素都是幂等的；因此∪和∪是𝒫(E )上的幂等运算。
• 在具有 逻辑连接词与∨和 逻辑连接词或∧的 布尔域的幺半群（{0,1}，∨）和（{0,1}，∧）中，所有元素都是幂等的。
• 在 布尔环 中，乘法是幂等的。

2.1 幂等函数

在从函数组合∘的集合E到E的子集 F的函数的幺半群（FE，∘）中，幂等元素是函数 f: E → F ，使得f ∘ f = f，换句话说，使得 对于E中的所有x，f(f(x)) = f(x) (E中每个元素的像是f的 定点 )。例如:

• 取 整数 x的 绝对值 abs（x）^[7]是幂等函数，原因如下: abs（abs（x））=abs（x）对于每个整数x都是真的。^[8] 这意味着abs∘abs = abs ^[9] 成立，也就是说，abs是所有函数集(从整数到整数)^[10] 中关于函数组合的一个幂等元素。因此，abs满足幂等函数的上述定义。

其他例子包括:

• 恒等函数是幂等的；
• 常数 函数是幂等的；
• 向下取整函数，向上取整函数 和 分数部分 函数是幂等的；
• 从群的幂集到自身的子群生成函数是幂等的；
• 实数上仿射空间的幂集到其自身的凸包函数是幂等的；
• 拓扑空间的幂集对其自身的闭包和内函数是幂等的；
• 幺半群的幂集对自身的 克莱尼星 和 克莱尼加号 函数是幂等的；
• 向量空间的幂等 自同态是它的投影。

如果集合 E 有 n 个元素，在f下我们可以把它分成 k 个选定的固定点和 n − k 个非固定点 ，那么有 k^n−k 个不同的幂等函数。因此，考虑到所有可能的分区，

是集合中可能幂等函数的总数。对于n = 0,1,2,3,4,5,6,7,8 ......，由上面求和给出的幂等函数个数的整数序列 从1,1,3,10,41,196，1057,6322,41398，...开始。 （OEIS中的数列A000248）。

在复合函数下，幂等性和非幂等性都没有保留。^[11] 作为前者的一个例子，f(x) = x mod 3和 g（x )=max(x，5)都是幂等的，但是 f ∘ g 不是，^[12] 尽管 g ∘ f 碰巧是。^[13] 作为后者的一个例子，布尔域上的否定函数¬ 不是幂等的，而是 ¬ ∘ ¬ 是。同样，一元否定 −( ) 对实数的幂等性不是，但是 −( ) ∘ −( ) 是。

在 计算机科学 中，术语 幂等性 根据其应用的背景，可能有不同的含义:

• 在 命令式编程 中，如果一个或多个调用后系统状态保持不变，则具有 副作用的 子程序是幂等的，换句话说，· 从系统状态空间到与子程序相关联的自身的函数在 中给出的数学意义上是幂等的；
• 在 函数编程 中，· 如果一个 纯函数 在中给出的数学意义上是幂等的，那么它就是幂等的。

在许多情况下，这是一个非常有用的属性，因为这意味着可以根据需要重复或重试一个操作，而不会造成意想不到的影响。对于非幂等运算，算法可能必须跟踪该运算是否已经被执行。

3.1 计算机科学示例

在数据库中查找客户姓名和地址的函数通常是幂等的，因为这不会导致数据库改变。同样，将客户地址更改为XYZ通常是幂等的，因为无论XYZ提交多少次，最终地址都是相同的。但是，为客户订购购物车通常不是幂等的，因为多次运行该呼叫将导致订购多个订单。取消订单是等幂的，因为无论发出多少请求，订单都会被取消。

然而，如果序列中的后一个方法改变了前一个方法所依赖的值，幂等方法或子程序的组合不一定是幂等的 幂等性在组合下是不封闭的。 例如，假设一个变量的初始值是3，并且有一个序列读取该变量，然后将其更改为5，然后再次读取它。 序列中的每一步都是幂等的:读取变量的两个步骤都没有副作用，并且无论执行多少次，将变量更改为5将始终具有相同的效果。尽管如此，执行整个序列第一次会产生输出(3，5)，但第二次执行会产生输出(5，5)，因此序列不是幂等的。

在 超文本传输协议 中，幂等性和性是区分 的主要属性。 在主要的超文本链接协议动词中，GET、PUT和DELETE应该按照标准以幂等的方式实现，但是POST不需要。^[14] GET获取检索资源；PUT将内容存储在资源中；DELETE删除资源。如上例所示，读取数据通常没有副作用，所以它是幂等的(事实上是幂零)。存储和删除给定的一组内容通常都是幂等的，只要请求指定了唯一标识该资源的位置或标识符，并且将来只标识该资源。具有唯一标识符的PUT和DELETE操作分别简化为赋值给一个值或空值的不可变变量的简单情况，并且出于相同的原因是幂等的；最终结果总是与初始执行的结果相同，即使响应不同。^[15]

违反存储或删除中的唯一标识要求通常会导致违反幂等性。例如，在没有指定唯一标识符的情况下存储或删除给定的一组内容:不需要幂等的POST请求通常不包含唯一标识符，因此标识符的创建被委托给接收系统，然后接收系统创建相应的新记录。 同样，根据系统的状态，具有非特定标准的PUT和DELETE请求可能会导致不同的结果，例如，删除最近记录的请求。在每种情况下，后续的执行将进一步修改系统的状态，因此它们不是幂等的。

在 事件流处理 中，幂等性指的是系统产生相同结果的能力，即使相同的文件、事件或消息被多次接收。

在 加载存储架构 中，可能导致 页面错误 的命令幂等的。因此，如果发生页面故障，操作系统可以从磁盘加载页面，然后简单地重新执行故障指令。在非等幂指令的处理器中，处理页面错误要复杂得多。

当重新格式化输出时， 漂亮的印刷 是幂等的。换句话说，如果输出已经“漂亮”，那么漂亮的打印机就没什么可做的了。

在 面向服务的体系结构 (SOA)中，如果该过程的任何部分失败的话，则可以重放完全由幂等步骤组成的多步骤编排过程而没有副作用。

许多人在日常生活中可能遇到的应用例子包括 电梯 呼叫按钮和 人行横道按钮.^[16] 按钮的初始激活使系统进入请求状态，直到请求得到满足。在初始激活和被满足的请求之间的按钮的后续激活没有效果，除非系统被设计成基于激活次数来调整满足请求的时间。