希尔伯特第十二问题

代数数论的根本问题就是描述代数数域。 伽罗瓦的工作明确表示域的扩张由确定的群控制，伽罗瓦群。最简单的情况，已经处于众所周知的边界，就是当所讨论的群是 阿贝尔群。通过二次多项式的邻接根得到的所有二次扩张都是阿贝尔群，并且它们的研究始于高斯。另一种形式的有理数域Q 的阿贝尔扩张，由分圆域的邻接n次单位根给出。高斯已经证明，事实上每个二次域包含在一个更大的分圆域中。克罗内克-韦伯定理 证明了 Q 的任意有限阿贝尔扩张包含在一个分圆域中。克罗内克(和希尔伯特)的问题解决了更一般的代数数域K的情况 ：构造K的所有阿贝尔扩张所必需的代数数是什么？这个问题只有在 K 是一个 虚二次域 或者它的一般化 CM域时才被完整地解决。

希尔伯特关于他的第12个问题的最初陈述是相当误导的：他似乎暗示虚二次域的阿贝尔扩张是由椭圆模函数的特殊值产生的，这是不正确的。(很难确切说出希尔伯特在说什么，一个问题是他可能一直在用“椭圆函数”这个术语来表示 椭圆函数℘和椭圆模函数 j。) 首先，使用单位根也是必要的，尽管希尔伯特可能暗示着要包括这些。更严重的是，当椭圆模函数值生成 希尔伯特类域时，对于更一般的阿贝尔扩张，也需要使用椭圆函数的值。例如，阿贝尔扩张\mathbf{Q}(i,\sqrt[4]{1+2i})/\mathbf{Q}(i)不是由奇异模和单位根产生的。

阐述克罗内克-韦伯定理的一个特别吸引人的方法是 Q 的极大阿贝尔扩张可以通过邻接 指数函数exp(2πi/n)的特殊值来获得。类似地，复数乘法理论证明了 Q(τ)（其中τ是虚二次无理的）的极大阿贝尔扩张，可以通过模函数 j 和椭圆函数℘的特殊值 ℘(τ，z)和 j(τ) 及单位根的邻接来获得，其中τ在虚二次域中，z 表示相应椭圆曲线上的扭转点。希尔伯特第十二个问题的一种解释是要求提供指数函数、椭圆函数或模函数的合适的相似域，它们的特殊值将生成一般数域 K的最大阿贝尔扩张 K^ab 。在这种形式下，它仍未解决。数域K^ab 的描述是在 类域理论中获取的，由希尔伯特本人、 埃米尔·阿廷和20世纪上半叶的其他人发展的。^[1] 然而， 在类域理论中K^ab 的构造首先是使用库姆默理论构造更大的非阿贝尔扩张，然后收缩到阿贝尔扩张，所以并不能真正解决希尔伯特问题，这个问题要求更直接地构造阿贝尔扩张。

自1960年左右以来的发展有一定的贡献。在那之前， Hecke （）在他的论文中使用了希尔伯特模形式研究实二次域的阿贝尔扩张。 阿贝尔簇复数乘法是一个由 Shimura和Taniyama的工作打开的领域。这使得ＣＭ域的阿贝尔扩张总体上得到提升。问题是这些簇的哪些具有泰特模的扩张能被发现，如伽罗瓦表示。因为这是 l-上同调最容易达到的情形，所以这些表示已经被深入研究。

罗伯特·朗兰兹在1973年争论说现代版的青春之梦(Jugendtraum )应该处理Shimura簇的哈塞-韦尔Zeta函数 。虽然他设想了一个宏伟的计划将使这一主题走得更远，然而三十多年后，对于希尔伯特提出的这个问题，它的重要性仍然存在严重的疑问。

另一个发展是 斯塔克猜想 （哈罗德·斯塔克)，相比之下，它直接处理发现的感兴趣的问题，尤其是数域中特定的单位。这已经成了对L函数的一个大的推测性发展，并且也能够产生具体的数值结果。