希尔伯特问题

希尔伯特的问题在主题和精确度上差别很大。其中一些问题的提出足够精确，能够给出明确的肯定或否定的答案，比如首先被解决的第3个问题，或者第8个问题（黎曼假设）。对于其他问题，如第5个问题，专家们传统上同意单一的解释，并给出了一个可接受的解释的解决方案，但存在密切相关的未解决问题。有时希尔伯特的陈述不够精确，不足以具体说明一个特定的问题，但却足够有启发性，以至于某些问题更现代的起源似乎适用。例如，大多数现代数论者可能会认为第9个问题是指Langlands猜想对应的是数域的绝对伽罗瓦群表示。还有其他一些问题，如第11和第16个问题，与现在蓬勃发展的数学分支有关，如二次型和实代数曲线理论。

有两个问题不仅没有解决，而且按照现代标准可能实际上无法解决。第6个问题涉及物理学的公理化，一个20世纪物理学的发展（包括它被认为是一门独立于数学的学科）似乎比希尔伯特时代更遥远、更不重要的目标。此外，第4个问题涉及几何学的基础，以一种现在被普遍认为过于含糊的方式而无法给出明确的答案。

其他21个问题都受到了极大的关注，并且在20世纪后期，关于这些问题的工作仍然被认为是最重要的。1966年，保罗·科恩因他在第一个问题上的工作而获得菲尔兹奖章，1970年，尤里·马季亚谢维奇（完成了马丁·戴维斯、希拉里·普特南和朱莉娅·罗宾逊的工作）对第10个问题的否定解决方案也获得了类似的赞誉。这些问题的各个方面今天仍然很有意思。

继戈特洛布·弗雷格和伯特兰·罗素之后，希尔伯特试图用形式系统的方法逻辑地定义数学，即从一组公认的公理中得到有限的证明。^[2] 希尔伯特计划的主要目标之一是对算术公理一致性进行有限证明：这是他的第2个问题。

然而，哥德尔的第二不完全性定理给出了一个精确的意义，在这个意义上，这种算术一致性的有限证明是不可能的。希尔伯特在库尔特·哥德尔发表他的定理后活了12年，但他似乎没有对哥德尔的工作写过任何正式的回应。

希尔伯特的第10个问题并不是问是否存在一个决定丢番图方程可解性的算法，而是问这样一个算法的构造：“设计一个过程，根据这个过程，可以在有限次运算中确定方程在有理整数中是否可解。”通过证明不存在这样的算法来解决这个问题，这与希尔伯特的数学哲学相矛盾。

在讨论他认为每个数学问题都应该有一个解决方案的观点时，希尔伯特考虑到了这个解决方案可以证明原始问题是不可能的这一可能性。 他指出，关键是要知道一种方法或者其他的解决方法是什么，并且他相信我们总能知道这一点，在数学中不存在任何“不可知的”（即真理永远无法知晓这一说法）。 似乎不清楚他是否会把第10个问题的解决视为“不可知的”的例子：被证明不存在的不是整数解，而是（在某种意义上）以特定方式辨别解是否存在的能力。

另一方面，第一个和第二个问题的情况甚至更复杂：关于哥德尔（在第二个问题的情况下）或哥德尔和科恩（在第一个问题的情况下）的结果是否给出明确的否定解，没有任何明确的数学共识，因为这些解适用于问题的某种形式，而这不一定是唯一可能的。

希尔伯特最初在他的列表中列出24个问题，但决定其中包含的一个不公布在列表中。在2000年，德国历史学家吕迪格·蒂勒【德】。在希尔伯特的原稿笔记中重新发现了“第24个问题”（在证明理论中，关于简化标准和一般方法）。^[3]

自1900年以来，数学家和数学组织已经公布了问题列表，但是，除了少数例外，这些问题集没有希尔伯特的问题那么有影响力，也没有产生那么多的工作。

例外之一是安德烈·韦伊在20世纪40年代后期提出的三个猜想（韦伊猜想）。在代数几何、数论以及二者之间的联系领域，韦伊猜想非常重要。伯纳德·德沃克证明了韦伊的第一个猜想，亚历山大·格罗滕迪克通过l进上同调给出了前两个猜想的完全不同的证明。最后一个也是最深刻的一个韦伊猜想（类似黎曼假设）被皮埃尔·德林证明了。格罗滕迪克和德林都获得了菲尔德斯奖章。然而，韦伊猜想在其范围内更像是一个单一的希尔伯特问题，韦伊从未打算把它们作为所有数学的一个计划。这有点讽刺意味，因为可以说韦伊是20世纪40年代和50年代最擅长扮演希尔伯特角色的数学家，精通几乎所有（理论）数学领域，并在其中许多领域的发展中发挥了重要作用。

保罗·厄多斯提出了成百上千个数学问题，其中许多问题意义深远。厄多斯经常提供金钱奖励，奖励的大小取决于问题的难度。

千禧年的结束，也是希尔伯特宣布他的问题一百周年，是提出“一系列新的希尔伯特问题”的自然时机。几位数学家接受了这一挑战，尤其是菲尔兹奖获得者史蒂夫·斯梅尔，他对弗拉基米尔·阿诺德的请求作出了回应，列出了18个问题。斯梅尔的问题到目前为止还没有得到媒体太多的关注，也不清楚他们得到了数学界多少重视。

至少在主流媒体中，希尔伯特问题事实上的21世纪类比是2000年克雷数学研究所选择的七个千禧年大奖问题。与希尔伯特问题不同的是，在希尔伯特问题中，主要奖项是对希尔伯特特别地和数学家一般地赞美，千禧年问题每个奖项都包括一百万美元的奖金。和希尔伯特问题一样，其中一个获奖问题（庞加莱猜想）在问题公布后不久就解决了。

值得注意的是，黎曼假设以其几何形式出现在希尔伯特问题列表、斯梅尔列表、千禧年大奖问题列表中，甚至出现在韦伊猜想中。尽管当今主要数学家最近发起了一些著名的冲击，但许多专家认为黎曼假设将会被列入问题列表多个世纪。希尔伯特自己宣称：“如果我在睡了一千年后醒来，我的第一个问题将是：黎曼假设被证明了吗？”^[4]

2008年，美国国防部高级研究计划局公布了自己的23个问题清单，希望这些问题能够带来重大的数学突破，“从而加强国防部的科技能力”。^[5][6]

希尔伯特问题中表达清晰的问题3、7、10、11、13、14、17、19、20和21具有被数学界一致接受的解决方案。另一方面，问题1、2、5、9、15、18和22具有部分可接受的解决方案，但是对于它们是否能解决问题存在一些争议。

剩下问题8（黎曼假设）、12和16 没有得到解决，4和23过于模糊，以致于无法描述为已解决。被撤回的第24个问题也属于这一类。第6个问题是物理问题而不是数学问题。

希尔伯特的23个问题是（关于解决方案和参考文献的详细信息，请参见第一栏中链接的详细文章）：

6.1 笔记

1. See Nagel and Newman revised by Hofstadter (2001, p. 107),^[7] footnote 37: "Moreover, although most specialists in mathematical logic do not question the cogency of [Gentzen's] proof, it is not finitistic in the sense of Hilbert's original stipulations for an absolute proof of consistency." Also see next page: "But these proofs [Gentzen's et al.] cannot be mirrored inside the systems that they concern, and, since they are not finitistic, they do not achieve the proclaimed objectives of Hilbert's original program." Hofstadter rewrote the original (1958) footnote slightly, changing the word "students" to "specialists in mathematical logic". And this point is discussed again on page 109^[7] and was not modified there by Hofstadter (p. 108).^[7]
2. Reid reports that upon hearing about "Gödel's work from Bernays, he was 'somewhat angry'. ... At first he was only angry and frustrated, but then he began to try to deal constructively with the problem. ... It was not yet clear just what influence Gödel's work would ultimately have" (p. 198–199).^[8] Reid notes that in two papers in 1931 Hilbert proposed a different form of induction called "unendliche Induktion" (p. 199).^[8]
3. Reid's biography of Hilbert, written during the 1960s from interviews and letters, reports that "Godel (who never had any correspondence with Hilbert) feels that Hilbert's scheme for the foundations of mathematics 'remains highly interesting and important in spite of my negative results' (p. 217). Observe the use of present tense – she reports that Gödel and Bernays among others "answered my questions about Hilbert's work in logic and foundations" (p. vii).^[8]
4. This issue that finds its beginnings in the "foundational crisis" of the early 20th century, in particular the controversy about under what circumstances could the Law of Excluded Middle be employed in proofs. See much more at Brouwer–Hilbert controversy.
5. "This conviction of the solvability of every mathematical problem is a powerful incentive to the worker. We hear within us the perpetual call: There is the problem. Seek its solution. You can find it by pure reason, for in mathematics there is no ignorabimus." (Hilbert, 1902, p. 445.)
6. Nagel, Newman and Hofstadter discuss this issue: "The possibility of constructing a finitistic absolute proof of consistency for a formal system such as Principia Mathematica is not excluded by Gödel's results. ... His argument does not eliminate the possibility ... But no one today appears to have a clear idea of what a finitistic proof would be like that is not capable of being mirrored inside Principia Mathematica (footnote 39, page 109). The authors conclude that the prospect "is most unlikely."^[7]
7. Some authors consider this problem as too vague to ever be described as solved, although there is still active research on it.