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梅森素数

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在数学中，梅森素数是比2的幂次小1的素数。也就是说，对于某个整数n，它是形如Mₙ=2ⁿ-1的素数。它们是以在17世纪早期研究它们的法国最小兄弟会修道士马林·梅森的名字命名的。

给出梅森素数的指数n是2，3，5，7，13，17，19，31，...（在OEIS中的序列是A000043）和由此产生的梅森素数是3，7，31，127，8191，131071，524287，2147483647，……（在OEIS中的序列是A000668）。

如果n是一个合数，那么2n − 1也是。（2ab − 1 能同时被 2a − 1 和 2b − 1整除。） 因此，这个定义相当于对素数p,形如Mp = 2p − 1也是素数。

更一般地，不带素性要求的形如Mn = 2n − 1的数可以称为梅森数。然而，有时梅森数被定义时有附加要求，即n是素数。素数指数为n的最小梅森合数是211 − 1 = 2047 = 23 × 89。

梅森素数Mp 因与完全数相关而值得注意。

截至2018年12月，已知有51个梅森素数。已知的最大素数282,589,933 − 1是梅森素数。 自1997年以来，所有新发现的梅森素数都被互联网上的分布式计算项目——因特网梅森素数大搜索（GIMPS）发现。

1 关于梅森素数编辑

关于梅森素数的许多基本问题仍未解决，甚至不知道梅森素数集是有限的还是无限的。伦斯特拉-波美拉尼斯-瓦格斯塔夫猜想断言有无限多的梅森素数，并预测它们的增长阶。人们也不知道无限多的具有素数指数的梅森数是否是合数，尽管这是根据人们普遍相信的关于素数的推测得出的，例如，无穷多的索菲·热尔曼素数与3（mod4）同余。对于这些素数p，2p + 1（也是素数）将整除Mp，例如：23 | M11, 47 | M23, 167 | M83, 263 | M131, 359 | M179, 383 | M191, 479 | M239和 503 | M251  （在OEIS中的序列为A002515）。因为对于这些素数p，2p + 1与 7 mod 8同余，所以2是模2p+1的二次剩余，2模2p+1的乘法阶必须整除    因为p是素数，所以必须是p或1。然而，它不能为1，因为    并且1没有素因子，所以必须是p。因此，2p + 1整除    并且2p − 1 = Mp 不可能为素数。

前四个梅森素数是M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 and M7 = 127，并且因为第一个梅森素数始于M2 ，所以所有梅森素数都与3（mod4）同余。除了M0 = 0 和 M1 = 1，所有其他梅森数也与3（mod4）同余。因此，在梅森数（≥ M2）的素数因式分解中，肯定至少有一个素数因子与3（mod4）同余。

关于梅森数的一个基本定理指出，如果Mp是素数，那么指数p也肯定是素数。这源于等式

  

这排除了具有合数指数的梅森数的素数性，例如M4 = 24 − 1 = 15 = 3 × 5 = （22 − 1） × （1 + 22）。

虽然上面的例子可能表明对所有素数p，Mp是素数，但事实并非如此，最小的反例是梅森数

M11 = 211 − 1 = 2047 = 23 × 89。

手头的证据表明，随机选择的梅森数比任意随机选择的相似大小的奇数更有可能是素数。尽管如此，随着p的增加，Mp的素数值似乎越来越稀疏。例如，前11个素数p中的8个产生了梅森素数Mp（精确的梅森素数在梅森数原始列表中），而在前200万个素数中，Mp只有43个是素数（达到32452843）。

没有任何简单的测试来确定一个给定的梅森素数是否是素数，这使得寻找梅森素数成为一项困难的任务，因为梅森数增长非常快。卢卡斯-莱默素性测试（LLT）是一个有效的素性测试，极大地帮助了这项任务，使测试梅森数的素性比其他大多数相同大小的数容易得多。寻找已知最大的素数多少有些狂热的追随者。因此，为了寻找新的梅森素数，人们花费了大量的计算机资源，其中大部分现在都是使用分布式计算完成的。

梅森素数用于伪随机数生成器，如马特赛特旋转演算法、帕克-米勒随机数发生器、广义移位寄存器和斐波那契随机数产生器。它们也用在本原三项式中，本原三项式也可以用来创建周期非常长的周期随机数生成器（PRNGs）。

2 完全数编辑

梅森素数Mp因与完全数相关而值得注意。公元前4世纪，欧几里德证明了如果2p − 1 是素数，那么 2p − 1（2p − 1）就是一个完全数。这个数字，也可以表示为 Mp(Mp + 1)2，是第Mp个三角数和第2p − 1个六边形数。在18世纪，莱昂哈德·欧拉证明：反过来，所有偶数都有这种形式。[1] 这被称为欧几里德—欧拉定理。人们不知道是否有奇完全数。

3 历史编辑

2 3 5 7 11 13 17 19
23 29 31 37 41 43 47 53
59 61 67 71 73 79 83 89
97 101 103 107 109 113 127 131
137 139 149 151 157 163 167 173
179 181 191 193 197 199 211 223
227 229 233 239 241 251 257 263
269 271 277 281 283 293 307 311
前64个主要的指数与那些对应于梅森素数的指数以青色和粗体显示，而那些被梅森认为是红色和粗体显示的。

梅森素数以17世纪法国学者马林·梅森的名字命名，他编制了一份指数达到257的梅森素数列表。梅森列出的指数如下：

2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257。

他的列表复制了他那个时代的指数达到19的已知素数。他的下一个记录31是正确的，但是这个列表后面很大程度上是错误的，因为梅森错误地包括了M67 和 M257（它们是合数），并且忽略了M61, M89，和 M107（它们是素数）。梅森几乎没有透露他是如何得出清单的。[2]

爱德华·卢卡斯在1876年证明 M127 确实是素数，正如梅森所断言。这是75年来已知的最大素数，也是人工发现的最大素数。 M61 在1883年被Ivan Mikheevich Pervushin确定为素数，尽管梅森声称它是合数，因此有时称为Pervushin数。这是已知的第二大素数，并且一直保持到1911年。卢卡斯在1876年证明了在梅森的列表中的另一个错误。虽然没有找到 M67 的因子，但卢卡斯证明了M67是合数。直到弗兰克·尼尔森·科尔在1903年的一次著名演讲中，才发现M67的因子。[3] 他一句话也没说，走到黑板前写下2的67次方，然后减去1。在黑白的另一边，他给出乘式193707721 × 761838257287，得到了相同的数字，然后回到座位上（掌声）不说话。[4] 他后来说这个结果花了他“三年的星期天”才找到。在梅森公布他的列表之后仅仅约三个世纪，在此数范围内的一个正确的包含所有梅森素数的列表就被完整和严格地证明。

4 寻找梅森素数编辑

找到梅森素数的快速算法是存在的，截至2018年，已知的七个最大素数是梅森素数。

古代已知前四个梅森素数 M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 和 M7 = 127 。第五个，M13 = 8191，在1461年前被匿名者发现。接下来的两个（M17和M19）是皮埃特罗·卡塔利在1588年发现的。将近两个世纪后，M31在1772年被莱昂哈德·欧拉证实为素数。下一个（按历史顺序，而不是数字顺序）是M127，由爱德华·卢卡斯在1876年发现，之后M61由伊万·米哈伊维奇·佩尔韦在1883年发现。还有两个（M89和M107）在20世纪早期被发现，由R. E .鲍尔斯分别于1911年和1914年发现。

目前已知的测试梅森数素性的最佳方法是卢卡斯-莱默素性测试。具体而言：可以看出，对于素数p > 2, Mp = 2p − 1 是素数，当且仅当Mp 整除Sp − 2，其中 S0 = 4， Sk = （Sk − 1）2 − 2 ，k > 0。

在人工计算时代，所有指数（包括257）都经过卢卡斯-莱默测试，并被发现是合数。耶鲁大学退休物理教授霍勒斯·斯卡德尔·乌勒做出了显著贡献，他计算了指数157、167、193、199、227和229。[5] 不幸的是，对于这些研究者来说，他们测试的区间包含了梅森素数之间已知的最大相对间隔：下一个梅森素数指数521，将比之前记录的127大四倍多。

电子数字计算机的引入彻底改变了对梅森素数的搜索。艾伦·图灵（Alan Turing）于1949年在曼彻斯特马克1号上寻找它们，[6]但第一次用这种方法成功识别出梅森素数M521是在1952年1月30日晚上10：00，由莱曼指导，罗宾逊教授编写和运行计算机搜索程序，在洛杉矶加利福尼亚大学数值分析研究所使用美国国家标准西部自动计算机局（SWAC）完成的。这是三十八年来首次发现梅森素数。不到两小时后，计算机发现了下一个M607。在接下来的几个月里，同一个程序又发现了另外三个— M1279, M2203, M2281。M4253泰坦尼克素数中的第一个梅森素数，M44,497是第一个巨大的素数，M6,972,593 是被发现的第一个至少有100万位数的巨大素数。[7]这三个都是第一个已知的这种大小的素数。在十进制表示中，Mn的位数等于⌊n × log102⌋ + 1，其中⌊x⌋表示下取整函数（或相当于⌊log10Mn⌋ + 1）。

通过电子时代年份表示的最大的已知梅森素数的位数图表。注意纵坐标上的刻度（位数），在素数值中是双对数。

2008年9月，加州大学洛杉矶分校参与GIMPS的数学家们因发现了一个非常接近1300万位数的梅森素数而获得了电子前沿基金会10万美元奖金的一部分。该奖项最终在2009年10月得到确认，是第一个已知的至少有1000万位数的素数。该素数是2008年8月23日在戴尔OptiPlex 745上被发现的。这是加州大学洛杉矶分校发现的第八个梅森素数。[8]

2009年4月12日，GIMPS服务器日志报告说，可能发现了第47个梅森素数。该发现于2009年6月12日得到证实。这个素数是242,643,801 − 1。尽管按时间顺序，它是第47个被发现的梅森素数，但它比当时已知的最大梅森素数要小，后者是第45个被发现的。

2013年1月25日，中央密苏里大学数学家柯蒂斯·库珀（Curtis Cooper）通过GIMPS服务器网络执行的搜索，发现了第48个梅森素数 257,885,161 − 1 （位数是22,338,618）。[9]

2016年1月19日，库珀公布了他发现的第49个梅森素数， 274,207,281 − 1  （一个22338618位数的数字），这是GIMPS服务器网络执行搜索的结果。[10][11] 这也是库珀和他的团队在过去十年中发现的第四个梅森素数。

2016年9月2日，因特网梅森素数大搜索完成了对M37,156,667以下所有测试的验证，从而正式确认了其作为第45个梅森素数的地位。 [12]

2018年1月3日，据宣布，居住在田纳西州日耳曼敦的51岁电气工程师乔纳森·佩斯（Jonathan Pace）发现了第50个梅森素数， 277,232,917 − 1 （数字为23，249，425），是GIMPS服务器网络执行搜索的结果。[13]

2018年12月21日，据宣称，因特网梅森素数大搜索（GIMPS）发现了已知最大的素数282,589,933 - 1，有24862048位数字。2018年12月7日，一台由佛罗里达州奥卡拉市的帕特里克·拉罗奇自愿提供的电脑找到了这个发现。 [14]

5 关于梅森数的定理编辑

  1. 如果a和p是自然数，满足ap − 1为素数，则a = 2或p = 1。
    • 证明：a≡1（mod a-1）。那么ap ≡ 1 （mod a − 1），所以ap − 1 ≡ 0 （mod a − 1）， 因此 a − 1 | ap − 1。然而，ap − 1是素数，因此a − 1 = ap − 1 或者 a − 1 = ±1。在前一种情况下， a = ap，因此a = 0，1（这是矛盾的，因为1和0都不是素数）或p = 1。在后一种情况下，a = 2或a = 0。但是，如果a = 0，0p − 1 = 0 − 1 = −1 ，这不是素数。因此，a = 2。
  2. 如果2p − 1 是素数，那么p就是素数。
    • 证明：假设p是合数，因此可以写成 p = ab ，a和b > 1。那么 2p − 1 = 2ab − 1 = （2a）b − 1= （2a − 1）（（2a）b − 1 + （2a）b − 2 + … + 2a + 1） 。所以2p − 1 是合数的。反过来说，如果2p − 1 是素数，那么p是素数。
  3. 如果p是奇数素数，那么整除2p − 1 的每个素数q必须是1加上2p的倍数。即使2p − 1 是素数，也是如此。
    • 例如，25 − 1 = 31 为素数，31 = 1 + 3 × （2 × 5）。一个合数的例子为211 − 1 = 23 × 89，其中23 = 1 + （2 × 11）和89 = 1 + 4 × （2 × 11）。
    • 证明：根据费马小定理，q是2q − 1 − 1的因子。因为q是2p − 1的因子，所以对于所有正整数c，q也是2pc − 1的因子。由于p是素数，q不是 21 − 1的因子，p也是最小的正整数x使得q是 2x − 1的因子。因此，对于所有正整数x，当且仅当p是x的因子时，q是 2x − 1的因子。由于q是2q − 1 − 1的因子，p是 q − 1的因子，所以q ≡ 1 （mod p）。此外，由于q是2p − 1的因子，这两个都是奇数，故q ≡ 1 （mod 2p）。
    • 这一事实得出欧几里德定理的证明，即断言素数的无限性，不同于欧几里德所写的证明：对于每个奇数素数p，整除2p-1的所有素数都大于p，因此，总有比任何特定素数更大的素数。
    • 从这个事实出发，对于每个素数p > 2，至少有一个小于或等于Mp的形如2kp+1的素数，其中k是某个整数。
  4. 如果p是奇数素数，那么整除 2p − 1 的每个素数q与 ±1 （mod 8）同余。
    • 证明：2p + 1 ≡ 2 （mod q）, 所以 212(p + 1) 是2 mod q的平方根。通过二次互反，数字2的平方根与 ±1 （mod 8）同余。
  5. 梅森素数不可能是韦伊费列治素数。
    • 证明：如果 p = 2m − 1是梅森素数，则同余2p − 1 ≡ 1 （mod p2） 不成立。根据费马小定理，m | p − 1。因此，可以写p − 1 = mλ。如果满足给定的同余，那么p2 | 2mλ − 1，因此 0 ≡ 2mλ − 12m − 1 = 1 + 2m + 22m + ... + 2(λ − 1)m ≡ −λ mod (2m − 1)。所以 2m − 1 | λ， λ ≥ 2m − 1。这导致p − 1 ≥ m（2m − 1），因为m ≥ 2，所以这是不可能的。
  6. 如果m和n是自然数，则m和n是互质当且仅当2m − 1 和 2n − 1 是互质。因此，一个素数最多只能整除一个梅森数的素数指数，[15] 换句话说，恶性梅森数的集合是成对互质的。
  7. 如果p和2p + 1都是素数（意味着p是索菲·杰曼素数），并且p与3（mod4）同余，那么2p + 1整除 2p − 1。[16]  
    • 示例：11和23都是素数，11 = 2 × 4 + 3，因此23整除211 − 1。
    • 证明：让q为2p + 1。根据费马小定理， 22p ≡ 1 （mod q），所以2p ≡ 1 （mod q） 或者2p ≡ −1 （mod q）。假设后者为真，那么2p + 1 = (212(p + 1))2 ≡ −2 (mod q)，所以-2是模q的二次剩余。然而，由于p与3 （mod 4）同余，q与7 （mod 8）同余，因此-2是模q的二次剩余。此外，由于q与3 （mod 4）同余，-1是模q的二次非剩余，所以2是剩余和非剩余的乘积，因此它是非剩余，这是矛盾的。故前一个同余必须为真，2p + 1整除Mp。
  8. 指数是素数的梅森数的所有合数因子都是以2为底的强伪素数。
  9. 除了1，梅森数不可能是完全幂。换句话说，根据米赫伊莱斯库定理，等式2m-1 = nk没有解，其中m、n和k是整数且m>1,k>1。

6 已知梅森素数列表编辑

下表列出了所有已知的梅森素数（在OEIS中的序列是A000043 （p）和A000668 （Mp）：

# p Mp Mp 的位数 发现时间 发现者 使用的方法
1 2 3 1 公元前430年 古希腊数学家[17]
2 3 7 1 公元前430年 古希腊数学家[17]
3 5 31 2 公元前300年 古希腊数学家[18]
4 7 127 3 公元前300年 古希腊数学家[18]
5 13 8191 4 1456 匿名[19][20] 试除法
6 17 131071 6 1588[21] Pietro Cataldi 试除法[22]
7 19 524287 6 1588 Pietro Cataldi 试除法[23]
8 31 2147483647 10 1772 莱昂哈德·欧拉[24][25] 改进的试除法[26]
9 61 2305843009213693951 19 1883年11月[27] Ivan M. Pervushin 卢卡斯序列
10 89 618970019642...137449562111 27 1911年6月[28] 拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯 卢卡斯序列
11 107 162259276829...578010288127 33 1914年6月1日[29][30][31] 拉尔夫·欧内斯特·鲍尔斯[32] 卢卡斯序列
12 127 170141183460...715884105727 39 18761月10日[33] 爱德华·卢卡斯 卢卡斯序列
13 521 686479766013...291115057151 157 1952年1月30日[34] 拉斐尔·鲁滨逊 LLT / SWAC
14 607 531137992816...219031728127 183 1952年1月30日[34] 拉斐尔·鲁滨逊 LLT / SWAC
15 1,279 104079321946...703168729087 386 19526月25日[35] 拉斐尔·鲁滨逊 LLT / SWAC
16 2,203 147597991521...686697771007 664 1952年10月7日[36] 拉斐尔·鲁滨逊 LLT / SWAC
17 2,281 446087557183...418132836351 687 1952年10月9日[36] 拉斐尔·鲁滨逊 LLT / SWAC
18 3,217 259117086013...362909315071 969 19579月8日[37] Hans Riesel LLT / BESK
19 4,253 190797007524...815350484991 1,281 1961年11月3日[38][39] 亚历山大·赫维茨 LLT / IBM 7090
20 4,423 285542542228...902608580607 1,332 1961年11月3日[38][39] 亚历山大·赫维茨 LLT / IBM 7090
21 9,689 478220278805...826225754111 2,917 1963年5月11日[40] 唐纳德·吉利斯 LLT / ILLIAC II
22 9,941 346088282490...883789463551 2,993 1963年5月16日[40] 唐纳德·吉利斯 LLT / ILLIAC II
23 11,213 281411201369...087696392191 3,376 1963年6月2日[40] 唐纳德·吉利斯 LLT / ILLIAC II
24 19,937 431542479738...030968041471 6,002 1971年3月4日[41] 布莱恩特·塔克曼 LLT / IBM 360/91
25 21,701 448679166119...353511882751 6,533 1978年10月30日[42] 兰顿·科特·诺尔和劳拉·镍 LLT / CDC Cyber 174
26 23,209 402874115778...523779264511 6,987 1979年2月9日[43] 兰登·科特·诺尔 LLT / CDC Cyber 174
27 44,497 854509824303...961011228671 13,395 1979年4月8日[44][45] 哈里·纳尔逊和大卫·斯隆斯基 LLT / Cray 1
28 86,243 536927995502...709433438207 25,962 1982年9月25日 大卫·斯隆斯基 LLT / Cray 1
29 110,503 521928313341...083465515007 33,265 19881月29日[46][47] 沃尔特·科尔奎特和卢克·威尔士 LLT / NEC SX-2[48]
30 132,049 512740276269...455730061311 39,751 1983年9月19日 大卫·斯隆斯基 LLT / Cray X-MP
31 216,091 746093103064...103815528447 65,050 1985年9月1日[49][50] 大卫·斯隆斯基 LLT / Cray X-MP/24
32 756,839 174135906820...328544677887 227,832 1992年2月17日 大卫·斯隆斯基和保罗·盖奇 LLT / Harwell Lab's Cray-2[51]
33 859,433 129498125604...243500142591 258,716 1994年1月4日[52][53][54] 大卫·斯隆斯基和保罗·盖奇 LLT / Cray C90
34 1,257,787 412245773621...976089366527 378,632 1996年9月3日[55] 大卫·斯隆斯基和保罗·盖奇[56] LLT / Cray T94
35 1,398,269 814717564412...868451315711 420,921 1996年11月13日 GIMPS / Joel Armengaud[57] LLT / Prime95 on 90 MHz Pentium
36 2,976,221 623340076248...743729201151 895,932 19978月24日 GIMPS /戈登·斯宾塞[58] LLT / Prime95 on 100 MHz Pentium
37 3,021,377 127411683030...973024694271 909,526 1998年1月27日 GIMPS /罗兰·克拉克森[59] LLT / Prime95 on 200 MHz Pentium
38 6,972,593 437075744127...142924193791 2,098,960 1999年6月1日 GIMPS / /阎娜·哈吉拉特瓦拉[60] LLT / Prime95 on 350 MHz Pentium II IBM Aptiva
39 13,466,917 924947738006...470256259071 4,053,946 2001年11月14日 GIMPS / 迈克尔·卡梅伦[61] LLT / Prime95 on 800 MHz Athlon T-Bird
40 20,996,011 125976895450...762855682047 6,320,430 2003年11月17日 GIMPS / 迈克尔·谢弗[62] LLT / Prime95 on 2 GHz Dell Dimension
41 24,036,583 299410429404...882733969407 7,235,733 2004年5月15日 GIMPS / Josh Findley[63] LLT / Prime95 on 2.4 GHz Pentium 4
42 25,964,951 122164630061...280577077247 7,816,230 2005年2月18日 GIMPS / 马丁·诺瓦克[64] LLT / Prime95 on 2.4 GHz Pentium 4
43 30,402,457 315416475618...411652943871 9,152,052 2005年12月15日 GIMPS / 柯蒂斯·库珀和史蒂文·布恩[65] LLT / Prime95 on 2 GHz Pentium 4
44 32,582,657 124575026015...154053967871 9,808,358 2006年9月4日 GIMPS / 柯蒂斯·库珀和史蒂文·布恩[66] LLT / Prime95 on 3 GHz Pentium 4
45 37,156,667 202254406890...022308220927 11,185,272 2008年9月6日 GIMPS / 汉斯-迈克尔·埃尔文尼克[67] LLT / Prime95 on 2.83 GHz Core 2 Duo
46 42,643,801 169873516452...765562314751 12,837,064 2009年6月4日 GIMPS / Odd M. Strindmo[68] LLT / Prime95 on 3 GHz Core 2
47 43,112,609 316470269330...166697152511 12,978,189 2008年8月23日 GIMPS / 埃德森·史密斯[67] LLT / Prime95 on Dell Optiplex 745
48 57,885,161 581887266232...071724285951 17,425,170 2013年1月25日 GIMPS /柯蒂斯·库珀[69] LLT / Prime95 on 3 GHz Intel Core2 Duo E8400[70]
49 74,207,281 300376418084...391086436351 22,338,618 20161月7日 GIMPS / 柯蒂斯·库珀[71] LLT / Prime95 on Intel Core i7-4790
50 77,232,917 467333183359...069762179071 23,249,425 2017年12月26日 GIMPS /乔恩·佩斯[71] LLT / Prime95 on 3.3 GHz Intel Core i5-6600[72]
51 82,589,933 148894445742...325217902591 24,862,048 2018年12月7日 GIMPS / 帕特里克·拉罗奇[73] LLT / Prime95 on Intel Core i5-4590T

  1. M42,643,801 was first reported by a machine on April 12, 2009; however, no human took notice of this fact until June 4. Thus, either April 12 or June 4 may be considered the 'discovery' date.
  2. Strindmo also uses the alias Stig M. Valstad.
  3. It is not verified whether any undiscovered Mersenne primes exist between the 47th (M43,112,609) and the 51st (M82,589,933) on this chart; the ranking is therefore provisional.
  4. M74,207,281 was first reported by a machine on September 17, 2015; however, no human took notice of this fact until January 7, 2016. Thus, either date may be considered the 'discovery' date. GIMPS considers the January 2016 date to be the official one.

所有低于第51个梅森素数（M82,589,933）的梅森数都至少被测试过一次，但有些没有被复查过。素数并不总是以递增的顺序被发现。例如，第29个梅森素数是在第30和31个之后发现的。同样，M43,112,609 之后是两个较小的梅森素数，先是两周后，然后是八个月后。[73] M43,112,609是第一个发现的十进制数超过1000万位数的素数。

已知的最大梅森素数（282,589,933 − 1）也是已知的最大素数。[73]

在现代，已知的最大素数几乎总是梅森素数。[74]

7 梅森合数的因式分解编辑

因为梅森素数是素数，所以它们只能被1整除。然而，并不是所有的梅森数都是梅森素数，梅森合数可能会被非平凡地分解。梅森数对于特殊数域筛选算法来说是非常好的测试用例，所以用该算法分解的最大数通常是梅森数。截至2016年8月，21,193 − 1是记录保持者，[75] 已被特殊数域筛选的一个变体分解，该变体允许一次分解多个数字。更多信息，请参见链接：整数分解记录。特殊数域筛选可以用一个以上的大因子分解数字。如果一个数只有一个非常大的因子，那么其他算法可以先找到小因子，然后对余因子进行素性检验，从而对更大的数进行因子分解。截至2018年3月，允许最大的可能的素因子分解 27,313,983 − 1 = 305,492,080,276,193 × q，其中q可能是具有2201714位数的素数。这是奥利弗·克鲁斯发现的。[76] 截至2018年6月，梅森素数M1277是无已知因子的最小梅森合数，它没有低于267的素因子。[77]

下表显示了前20个复合梅森数的因式分解（在OEIS中的序列是A244453）。

p Mp Mp的因式分解
11 2047 23 × 89
23 8388607 47 × 178,481
29 536870911 233 × 1,103 × 2,089
37 137438953471 223 × 616,318,177
41 2199023255551 13,367 × 164,511,353
43 8796093022207 431 × 9,719 × 2,099,863
47 140737488355327 2,351 × 4,513 × 13,264,529
53 9007199254740991 6,361 × 69,431 × 20,394,401
59 57646075230343487 179,951 × 3,203,431,780,337 （13 digits）
67 147573952589676412927 193,707,721 × 761,838,257,287 （12 digits）
71 2361183241434822606847 228,479 × 48,544,121 × 212,885,833
73 9444732965739290427391 439 × 2,298,041 × 9,361,973,132,609 （13 digits）
79 604462903807314587353087 2,687 × 202,029,703 × 1,113,491,139,767 （13 digits）
83 967140655691...033397649407 167 × 57,912,614,113,275,649,087,721 （23 digits）
97 158456325028...187087900671 11,447 × 13,842,607,235,828,485,645,766,393 （26 digits）
101 253530120045...993406410751 7,432,339,208,719 （13 digits） × 341,117,531,003,194,129 （18 digits）
103 101412048018...973625643007 2,550,183,799 × 3,976,656,429,941,438,590,393 （22 digits）
109 649037107316...312041152511 745,988,807 × 870,035,986,098,720,987,332,873 （24 digits）
113 103845937170...992658440191 3,391 × 23,279 × 65,993 × 1,868,569 × 1,066,818,132,868,207 （16 digits）
131 272225893536...454145691647 263 × 10,350,794,431,055,162,386,718,619,237,468,234,569 （38 digits）

前500个梅森数的因子数可在（OEIS的序列A046800）中找到。

8 自然界和其他地方的梅森数编辑

在数学问题河内塔中，假设没有出错[78] ，解决一个n圆盘塔难题需要Mn个步骤。棋盘麦粒问题中整个棋盘上的米粒数是M64。

编号为8191的小行星，以马林·梅森的名字命名为8191梅森，因为8191是梅森素数（3号婚神星、7号虹神星、31号丽神星和127号圣约翰星已在19世纪被发现并命名）。[79]

在几何学中，一个本原整数直角三角形，它的偶数边是2的幂（≥ 4）生成一个唯一的直角三角形，使得它的内切圆半径总是一个梅森数。例如，如果偶数边为2n + 1 ，则因为它是本原的，所以它将奇数边限制为4n − 1，斜边为4n + 1，内切圆半径为2n − 1。[80]

在梅森数的研究中发现了关于非确定多项式时间图灵机的接受路径总数的有趣的内涵。 [81]

9 梅森——费马素数编辑

梅森-费马数定义为 2pr − 12pr − 1 − 1，其中p是素数，r是自然数，可以写成 MF（p, r），当r = 1时，它是梅森数，当p = 2时，它是费马数，唯一已知的r > 1的梅森-费马素数是

MF(2, 2), MF(3, 2), MF(7, 2), MF(59, 2), MF(2, 3), MF(3, 3), MF(2, 4), 和 MF(2, 5)。  [82]

事实上，MF（p, r） = Φpr（2），其中Φ是分圆多项式。

10 推广编辑

最简单的广义梅森素数是形如 f（2n）的素数，其中f（x）是具有较小整数系数的低次多项式。[83] 一个例子是264 − 232 + 1，在这种情况下，n = 32， f（x） = x2 − x + 1；另一个例子是2192 − 264 − 1，在这种情况下，n = 64，f（x） = x3 − x − 1。

试图将形如2n − 1 的素数推广到形如 bn − 1的素数也是很自然的（对于b ≠ 2和n > 1）。然而（也见上面的定理）， bn − 1 总是能被b − 1整除，所以除非b − 1是单位1，否则bn − 1不是素数。这可以通过允许b是代数整数而不是整数来改进。

10.1 复数

在整数环中（在实数上），如果b − 1是单位1，那么b要么是2，要么是0。但是2n − 1 是通常的梅森素数，公式0n − 1不会产生任何有趣的结果（因为对于所有n > 0的情况，它总是1）。因此，我们可以把复数上的一个“整数”环而不是实数，像高斯整数和艾森斯坦整数。

高斯梅森素数

如果我们考虑高斯整数环，我们得到b = 1 + i 和b = 1 - i 的情况，并且会问到（不失一般性）对于哪一个n，数字（1 + i）n − 1是高斯素数，这将被称为高斯梅森素数。[84]

(1 + i)n − 1对于下列n，（1 + i）n − 1 是的高斯素数：

2、3、5、7、11、19、29、47、73、79、113、151、157、163、167、239、241、283、353、367、379、457、997、1367、3041、10141、14699、27529、49207、77291、85237、100... （在OEIS中的序列是A057429）

像通常梅森素数的指数序列一样，这个序列只包含（有理数）素数。

对于所有高斯素数，这些数的范数（即绝对值的平方）是有理素数：

5，13，41，113，2113，525313，536903681，140737471578113，... （在OEIS中的序列是A182300）。

艾森斯坦·梅森素数

我们也可以考虑艾森斯坦整数环，得到 b = 1 + ω和 b = 1 - ω的情况，并且会问到什么n能使 （1 + ω）n − 1 为艾森斯坦素数，然后它将被称为艾森斯坦梅森素数。

对于下列n，（1 + ω）n − 1  是的艾森斯坦素数：

2，5，7，11，17，19，79，163，193，239，317，353，659，709，1049，1103，1759，2029，5153，7541，9049，10453，23743，255361，534827，2237561，... （在OEIS中的序列是A066408）

这些艾森斯坦素数的范数（即绝对值的平方）是有理素数：

7，271，2269，176419，129159847，1162320517，... （OEIS的序列A066413）

10.2 整除

纯元素数

另一种基于bn − 1总是能被b-1整除这一事实的处理方法是，简单地取出这个因子并询问n的哪些值使得

  

为素数。（整数b可以是正数，也可以是负数）  例如，如果我们取b = 10，我们得到n个值：

2，19，23，317，1031，49081，86453，109297，270343，... （在OEIS中的序列是A004023），  
对应于素数11，11111111111111111，111111111111111111111111111111111111111，... （OEIS中的数列A004022）。

这些质数叫做 repu unit 质数。另一个例子是当我们 b = −12，我们得到 n 的值：

2，5，11，109，193，1483，11353，21419，21911，24071，106859，139739，... （在OEIS中的序列是A004022），  
对应于素数11、19141、57154490053，...

人们猜测，对于不是完全幂的每个整数b，都有无穷多个n值，使得 bn − 1b − 1 是素数。（当b为完全幂时，可以证明最多有一个n值，使得 bn − 1b − 1 为素数）

使 bn − 1b − 1 为素数的最小n是（从b = 2开始，如果不存在这样的n，则从0开始）

2、3、2、3、2、5、3、0、2、17、2、5、3、3、2、2、19、3、3、2、5、3、0、7、3、2、5、2、7、0、3、13、313、2、13、3、349、2、3、2、5、5、19、2、127、19、0、3、4229、2、11、3、17、7... （在OEIS中的序列是A084740）

对于负基数b，它们是（如果不存在这样的n，从b = 2，0开始）

3，2，2，5，2，3，2，3，5，5，2，3，2，3，7，2，17，2，3，3，11，0，3，7，2，109，2，5，3，11，31，5，2，3，53，17，2，5，2，103，7，5，2，7，1153，3，7，21943，2，3... （在OEIS中的序列是A084742）（注意，这个OEIS序列不允许n = 2）

使得 bprime(n) − 1b − 1 是素数的基数b为

2，2，2，2，5，2，2，10，6，2，61，14，15，5，24，19，2，46，3，11，22，41，2，12，22，3，2，12，86，2，7，13，11，5，29，56，30，44，60，304，5，74，118，33，156，46，180... （在OEIS中的序列是A066180）

对于负基数b，它们是

3，2，2，2，2，2，2，2，7，2，16，61，2，6，10，6，2，5，46，18，2，49，16，70，2，5，6，12，92，2，48，89，30，16，147，19，19，2，16，11，289，2，12，52，2，66，9，22，5... （在OEIS中的序列是A103795）

其他广义梅森素数

另一个广义梅森数是

  

对于任何互质整数a,b，a > 1且−a < b < a，（因为an − bn 总是可以被 a − b整除，所以除法对于找到素数的任何机会是必要的。事实上，这个数与卢卡斯数Un（a + b, ab）相同，因为a和b是二次方程x2 − （a + b）x + ab = 0的根，当n = 1时，这个数等于1，我们可以问哪个n使这个数为素数。可以证明，这样的n本身必须是素数或等于4，并且n可以是4当且仅当a + b = 1且a2 + b2是素数。（因为a4 − b4a − b = (a + b)(a2 + b2)。因此，在这种情况下，（a，b）必须是 （x + 1, −x） ，且x2 + （x + 1）2必须是素数。也就是说，x一定在OEIS： A027861。）这是一个猜想，对于任何一对（a，b），满足对于每个自然数r > 1，a和b都不是完全r次幂，-4ab也不是完全四次幂。有无穷多的n使得 an − bna − b 是素数。（当a和b都是r > 1的完全r次幂，或者当-4ab是完全四次幂时，可以证明在该性质下最多有两个n值，因为如果是这样，那么an − bna − b 可以用代数方法分解。）然而，对于（a，b）的任何单个值，这还没有得到证明。

更多信息查看  [85]  [86]  [87]  [88]  [89]  [90]  [91]  [92]  [93]  [94]
a b 数字n使得 an − bna − b 是素数
（有些大项只是可能的素数，对于|b| ≤ 5或| b | = a-1，这些n最多检查到100000，对于5 < | b | < a-1，检查到20000）		 OEIS 序列
2 1 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, ..., 57885161, ..., 74207281, ..., 77232917, ..., A000043
2 −1 3, 4*, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ... A000978
3 2 2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503, ... A057468
3 1 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, ... A028491
3 −1 2*, 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459, ... A007658
3 −2 3, 4*, 7, 11, 83, 149, 223, 599, 647, 1373, 8423, 149497, 388897, ... A057469
4 3 2, 3, 7, 17, 59, 283, 311, 383, 499, 521, 541, 599, 1193, 1993, 2671, 7547, 24019, 46301, 48121, 68597, 91283, 131497, 148663, 184463, 341233, ... A059801
4 1 2 （no others）
4 −1 2*, 3 （no others）
4 −3 3, 5, 19, 37, 173, 211, 227, 619, 977, 1237, 2437, 5741, 13463, 23929, 81223, 121271, ... A128066
5 4 3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, 1663, 5471, 17707, 19609, 35449, 36697, 45259, 91493, 246497, 265007, 289937, ... A059802
5 3 13, 19, 23, 31, 47, 127, 223, 281, 2083, 5281, 7411, 7433, 19051, 27239, 35863, 70327, ... A121877
5 2 2, 5, 7, 13, 19, 37, 59, 67, 79, 307, 331, 599, 1301, 12263, 12589, 18443, 20149, 27983, ... A082182
5 1 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ... A004061
5 −1 5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, ... A057171
5 −2 2*, 3, 17, 19, 47, 101, 1709, 2539, 5591, 6037, 8011, 19373, 26489, 27427, ... A082387
5 −3 2*, 3, 5, 7, 17, 19, 109, 509, 661, 709, 1231, 12889, 13043, 26723, 43963, 44789, ... A122853
5 −4 4*, 5, 7, 19, 29, 61, 137, 883, 1381, 1823, 5227, 25561, 29537, 300893, ... A128335
6 5 2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, 1039, 1511, 31237, 60413, 113177, 135647, 258413, ... A062572
6 1 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ... A004062
6 −1 2*, 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, ... A057172
6 −5 3, 4*, 5, 17, 397, 409, 643, 1783, 2617, 4583, 8783, ... A128336
7 6 2, 3, 7, 29, 41, 67, 1327, 1399, 2027, 69371, 86689, 355039, ... A062573
7 5 3, 5, 7, 113, 397, 577, 7573, 14561, 58543, ... A128344
7 4 2, 5, 11, 61, 619, 2879, 2957, 24371, 69247, ... A213073
7 3 3, 7, 19, 109, 131, 607, 863, 2917, 5923, 12421, ... A128024
7 2 3, 7, 19, 79, 431, 1373, 1801, 2897, 46997, ... A215487
7 1 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ... A004063
7 −1 3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, ... A057173
7 −2 2*, 5, 23, 73, 101, 401, 419, 457, 811, 1163, 1511, 8011, ... A125955
7 −3 3, 13, 31, 313, 3709, 7933, 14797, 30689, 38333, ... A128067
7 −4 2*, 3, 5, 19, 41, 47, 8231, 33931, 43781, 50833, 53719, 67211, ... A218373
7 −5 2*, 11, 31, 173, 271, 547, 1823, 2111, 5519, 7793, 22963, 41077, 49739, ... A128337
7 −6 3, 53, 83, 487, 743, ... A187805
8 7 7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, 4357, 44029, 76213, 83663, 173687, 336419, 615997, ... A062574
8 5 2, 19, 1021, 5077, 34031, 46099, 65707, ... A128345
8 3 2, 3, 7, 19, 31, 67, 89, 9227, 43891, ... A128025
8 1 3 （no others）
8 −1 2* （no others）
8 −3 2*, 5, 163, 191, 229, 271, 733, 21059, 25237, ... A128068
8 −5 2*, 7, 19, 167, 173, 223, 281, 21647, ... A128338
8 −7 4*, 7, 13, 31, 43, 269, 353, 383, 619, 829, 877, 4957, 5711, 8317, 21739, 24029, 38299, ... A181141
9 8 2, 7, 29, 31, 67, 149, 401, 2531, 19913, 30773, 53857, 170099, ... A059803
9 7 3, 5, 7, 4703, 30113, ... A273010
9 5 3, 11, 17, 173, 839, 971, 40867, 45821, ... A128346
9 4 2 （no others）
9 2 2, 3, 5, 13, 29, 37, 1021, 1399, 2137, 4493, 5521, ... A173718
9 1 （none）
9 −1 3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ... A057175
9 −2 2*, 3, 7, 127, 283, 883, 1523, 4001, ... A125956
9 −4 2*, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 41, 53, 109, 167, 2207, 3623, 5059, 5471, 7949, 21211, 32993, 60251, ... A211409
9 −5 3, 5, 13, 17, 43, 127, 229, 277, 6043, 11131, 11821, ... A128339
9 −7 2*, 3, 107, 197, 2843, 3571, 4451, ..., 31517, ... A301369
9 −8 3, 7, 13, 19, 307, 619, 2089, 7297, 75571, 76103, 98897, ... A187819
10 9 2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, 2531, 15787, 66949, 282493, ... A062576
10 7 2, 31, 103, 617, 10253, 10691, ... A273403
10 3 2, 3, 5, 37, 599, 38393, 51431, ... A128026
10 1 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... A004023
10 −1 5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ... A001562
10 −3 2*, 3, 19, 31, 101, 139, 167, 1097, 43151, 60703, 90499, ... A128069
10 −7 2*, 3, 5, 11, 19, 1259, 1399, 2539, 2843, 5857, 10589, ...
10 −9 4*, 7, 67, 73, 1091, 1483, 10937, ... A217095
11 10 3, 5, 19, 311, 317, 1129, 4253, 7699, 18199, 35153, 206081, ... A062577
11 9 5, 31, 271, 929, 2789, 4153, ... A273601
11 8 2, 7, 11, 17, 37, 521, 877, 2423, ... A273600
11 7 5, 19, 67, 107, 593, 757, 1801, 2243, 2383, 6043, 10181, 11383, 15629, ... A273599
11 6 2, 3, 11, 163, 191, 269, 1381, 1493, ... A273598
11 5 5, 41, 149, 229, 263, 739, 3457, 20269, 98221, ... A128347
11 4 3, 5, 11, 17, 71, 89, 827, 22307, 45893, 63521, ... A216181
11 3 3, 5, 19, 31, 367, 389, 431, 2179, 10667, 13103, 90397, ... A128027
11 2 2, 5, 11, 13, 331, 599, 18839, 23747, 24371, 29339, 32141, 67421, ... A210506
11 1 17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ... A005808
11 −1 5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ... A057177
11 −2 3, 5, 17, 67, 83, 101, 1373, 6101, 12119, 61781, ... A125957
11 −3 3, 103, 271, 523, 23087, 69833, ... A128070
11 −4 2*, 7, 53, 67, 71, 443, 26497, ... A224501
11 −5 7, 11, 181, 421, 2297, 2797, 4129, 4139, 7151, 29033, ... A128340
11 −6 2*, 5, 7, 107, 383, 17359, 21929, 26393, ...
11 −7 7, 1163, 4007, 10159, ...
11 −8 2*, 3, 13, 31, 59, 131, 223, 227, 1523, ...
11 −9 2*, 3, 17, 41, 43, 59, 83, ...
11 −10 53, 421, 647, 1601, 35527, ... A185239
12 11 2, 3, 7, 89, 101, 293, 4463, 70067, ... A062578
12 7 2, 3, 7, 13, 47, 89, 139, 523, 1051, ... A273814
12 5 2, 3, 31, 41, 53, 101, 421, 1259, 4721, 45259, ... A128348
12 1 2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ... A004064
12 −1 2*, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... A057178
12 −5 2*, 3, 5, 13, 347, 977, 1091, 4861, 4967, 34679, ... A128341
12 −7 2*, 3, 7, 67, 79, 167, 953, 1493, 3389, 4871, ...
12 −11 47, 401, 509, 8609, ... A213216

*注意：如果b < 0，n为偶数，则数字n不包含在相应的OEIS序列中。

一个与广义梅森素数有关的猜想：[95][96] （这个猜想预测下一个广义梅森素数在哪里，如果这个猜想是真的，那么所有这样的（a，b）对都有无穷多个素数）。

对于满足条件的任何整数a和b：

  1. a > 1, −a < b < a。
  2. a和b是互质。（因此，b不能为0）
  3. 对于每个自然数r > 1，a和b都不是完全r次幂。（因为当a和b都是完全r次幂时，可以证明最多有两个n值，使得 an − bna − b 是素数，且这n值是r本身或r的根，或2）
  4. -4ab不是完全四次幂（如果是，那么该数具有aurifeuillean因式分解）。

有形如以下的素数

  

对于素数p，素数将分布在最佳拟合线附近

  

其中

  

大约有

  

个小于N的这种形式的素数。

  • e是自然对数的底数。
  • γ 是欧拉-马歇罗尼常数。
  • loga是以a为底的对数。
  • 对素数p，R（a,b）（n） 是形如 ap − bpa − b 的第n个素数。
  • C是随a和b变化的数据拟合常数。
  • δ 是随a和b变化的数据拟合常数。
  • m 是使得a和-b都是2m − 1次幂的最大自然数。

我们还有以下三个性质：

  1. 形如 ap − bpa − b （p为素数）的素数小于或等于n的个数是eγ loga（loga（n））。
  2. 形如 ap − bpa − b （p是素数）介于n和an之间的个数预计是eγ。
  3. 形如 ap − bpa − b 的素数（对于素数p）的概率为eγp loge(a)。

如果这个猜想是真的，那么对于所有这样的（a，b）对，让q是形如 ap − bpa − b的第n个素数 ，loga（loga（q）） 关于n的图几乎是线性的。（参见 [95]）

当a = b + 1时，它是（b + 1）n − bn，两个连续完全n次方的差，如果an − bn 是素数，那么a必须是b+1，因为它可以被a- b整除。

使 (b + 1)n − bn 为素数的最小n是

2，2，2，3，2，2，2，7，2，2，3，2，17，3，2，2，5，3，2，229，2，3，3，2，3，3，3，2，2，5，3，2，3，3，3，2，2，3，3，2，7，2，3，37，2，3，5，58543，2，3，2，2，3，2，2，2，5，3，463... （在OEIS中的序列是A058013）

使(b + 1)prime(n) − bprime(n) i为素数的最小b为

1，1，1，1，5，1，1，1，5，2，1，39，6，4，12，2，2，1，6，17，46，7，5，1，25，2，41，1，12，7，1，7，327，7，8，44，26，12，75，14，51，110，4，14，49，286，15，4，39，22，100... （在OEIS中的序列是A222119）

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  • [18]

    ^"Euclid's Elements, Book IX, Proposition 36"..

  • [19]

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    ^"A i lettori. Nel trattato de' numeri perfetti, che giàfino dell anno 1588 composi, oltrache se era passato auáti à trouarne molti auertite molte cose, se era anco amplamente dilatatala Tauola de' numeri composti , di ciascuno de' quali si vedeano per ordine li componenti, onde preposto unnum." p. 1 in Trattato de' nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775#.

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