图

平移算符

预备知识 算符的指数函数

一维情况

   在一维的情况下, 平移算符(translation operator) $T(a)$ 可以把函数1 $f(x)$ 整体向右平移 $a$ 得到 $f(x - a)$. 要获得这个算符, 我们首先可以构造一个一阶微分方程: 对函数关于 $a$ 求偏导得

\begin{equation} \pdv{a} f(x - a) = -\pdv{x} f(x - a) \end{equation}
其中 $-\pdvStar{x}$ 可以看作是一个算符. 于是有
\begin{equation} f(x - a) = \expRound{-a\pdv{x}} f(x) \end{equation}

例1 

   令 $f(x) = x^2$, 现在我们使用平移算符将其向右平移 $a$.

\begin{equation}\ali{ \expRound{-a\pdv{x}} x^2 &= \qtyRound{1 - a\pdv{x} + \frac{1}{2!} a^2 \pdv[2]{x} + \frac{1}{3!} a^3 \pdv[3]{x} \dots} x^2\\ &= x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 }\end{equation}
我们还可以再次使用平移算符,
\begin{equation}\ali{ \expRound{-b\pdv{x}} (x - a)^2 &= \qtyRound{1 - b\pdv{x} + \frac{1}{2!} b^2 \pdv[2]{x} + \frac{1}{3!} b^3 \pdv[3]{x} \dots} (x - a)^2\\ &= (x - a)^2 - 2b(x - a) + b^2 = (x - a - b)^2 }\end{equation}
这就验证了 $T(b) T(a) = T(a + b)$, 即
\begin{equation} \expRound{-a\pdv{x}} \expRound{-b\pdv{x}} = \exp[-(a + b)\pdv{x}] \end{equation}

   在量子力学中, 由于(位置表象下的)动量算符为 $p = -\I\hbar \pdvStar{x}$, 平移算符可记为

\begin{equation} T(x) = \expRound{- \I\frac{x p}{\hbar}} \end{equation}

三维情况

   将标量算符换成矢量算符即可

\begin{equation} T(\bvec x) = \expRound{-\I \frac{\bvec x \vdot \bvec p}{\hbar}} \end{equation}


1. 这里的讨论是一般性的, 所以这里的函数不一定是量子力学中的波函数

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