图

旋转算符

预备知识 平移算符

   如果要将一个三维函数 $f(\bvec r)$ 绕 $z$ 轴旋转角 $\alpha$, 我们可以使用极坐标 $f(r, \theta, \phi)$, 并用平移算符 $\expRound{-\alpha\pdvStar{\phi}}$ 对坐标 $\phi$ 进行 “平移”. 那么球坐标中的算符 $\pdvStar{\phi}$ 在直角坐标中如何表示呢? 令 $R = \sqrt{x^2 + y^2}$, 该算符的意义是求函数在 $\uvec \phi$ 方向的方向导数乘以 $R$. $\uvec \phi = (-y/R, x/R, 0)$, 所以

\begin{equation} \pdvTwo{f}{\phi} = R \grad f \vdot \uvec \phi = x\pdvTwo{f}{y} - y\pdvTwo{f}{x} = \qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}} f \end{equation}
于是我们就得到直角坐标系中绕 $z$ 轴逆时针旋转的算符为
\begin{equation} \exp[-\alpha \qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}] \end{equation}
同理, 我们可以将极坐标的极轴指向 $x$ 或 $y$ 轴正方向, 从而得出绕 $x$ 或 $y$ 轴逆时针旋转角 $\alpha$ 的算符分别为
\begin{equation} \exp[-\alpha \qtyRound{y\pdv{z} - z\pdv{y}}] \qquad \exp[-\alpha \qtyRound{z\pdv{x} - x\pdv{z}}] \end{equation}

例1 

   要将 $f(x, y, z) = x$ 绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角, 就计算

\begin{equation}\ali{ &\qquad\exp[-\alpha \qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}] x\\ &= x -\alpha \qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}x + \frac{1}{2!} \alpha^2 \qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}^2 x - \dots }\end{equation}
其中
\begin{equation}\ali{ &\qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}} x = -y\\ &\qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}^2 x = \qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}(-y) = -x\\ &\qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}^3 x = \qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}(-x) = y\\ &\qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}^4 x = \qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}y = x\\ &\dots }\end{equation}
所以
\begin{equation}\ali{ &\qquad\exp[-\alpha \qtyRound{x\pdv{y} - y\pdv{x}}] x\\ &= \qtyRound{1 - \frac{1}{2!}\alpha^2 + \frac{1}{4!}\alpha^4 \dots} x + \qtyRound{\alpha - \frac{1}{3!}\alpha^3 + \frac{1}{5!}\alpha^5 \dots} y\\ &= x \cos\alpha + y \sin\alpha }\end{equation}
显然这就是旋转后所得的函数.

   在量子力学中, 由直角坐标系中角动量算符 $L_x, L_y, L_z$ 的定义, 三个旋转算符分别可以记为

\begin{equation} \expRound{-\I \frac{\alpha L_x}{\hbar}} \qquad \expRound{-\I \frac{\alpha L_y}{\hbar}} \qquad \expRound{-\I \frac{\alpha L_z}{\hbar}} \end{equation}

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