图

旋转算符

         

预备知识 平移算符, 梯度

   如果要将一个三维函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 绕 $z$ 轴旋转角 $\alpha$, 我们可以使用极坐标 $f(r, \theta, \phi)$, 并用平移算符 $ \exp\left(-\alpha \partial/\partial \phi \right) $ 对坐标 $\phi$ 进行 “平移”. 那么球坐标中的算符 $ \partial/\partial \phi $ 在直角坐标中如何表示呢? 令 $R = \sqrt{x^2 + y^2}$, 该算符的意义是求函数在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 方向的方向导数乘以 $R$. $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = (-y/R, x/R, 0)$, 所以

\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial \phi} = R \boldsymbol\nabla f \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = x \frac{\partial f}{\partial y} - y \frac{\partial f}{\partial x} = \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) f \end{equation}
于是我们就得到直角坐标系中绕 $z$ 轴逆时针旋转的算符为
\begin{equation} \exp \left[-\alpha \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \right] \end{equation}
同理, 我们可以将极坐标的极轴指向 $x$ 或 $y$ 轴正方向, 从而得出绕 $x$ 或 $y$ 轴逆时针旋转角 $\alpha$ 的算符分别为
\begin{equation} \exp \left[-\alpha \left(y \frac{\partial}{\partial{z}} - z \frac{\partial}{\partial{y}} \right) \right] \qquad \exp \left[-\alpha \left(z \frac{\partial}{\partial{x}} - x \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \right] \end{equation}

例1 

   要将 $f(x, y, z) = x$ 绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角, 就计算

\begin{equation} \begin{aligned} &\qquad\exp \left[-\alpha \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \right] x\\ &= x -\alpha \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) x + \frac{1}{2!} \alpha^2 \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) ^2 x - \dots \end{aligned} \end{equation}
其中
\begin{equation} \begin{aligned} & \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) x = -y\\ & \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) ^2 x = \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) (-y) = -x\\ & \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) ^3 x = \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) (-x) = y\\ & \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) ^4 x = \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) y = x\\ &\dots \end{aligned} \end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned} &\qquad\exp \left[-\alpha \left(x \frac{\partial}{\partial{y}} - y \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \right] x\\ &= \left(1 - \frac{1}{2!}\alpha^2 + \frac{1}{4!}\alpha^4 \dots \right) x + \left(\alpha - \frac{1}{3!}\alpha^3 + \frac{1}{5!}\alpha^5 \dots \right) y\\ &= x \cos\alpha + y \sin\alpha \end{aligned} \end{equation}
显然这就是旋转后所得的函数.

   在量子力学中, 由直角坐标系中角动量算符 $L_x, L_y, L_z$ 的定义, 三个旋转算符分别可以记为

\begin{equation} \exp\left(- \mathrm{i} \frac{\alpha L_x}{\hbar}\right) \qquad \exp\left(- \mathrm{i} \frac{\alpha L_y}{\hbar}\right) \qquad \exp\left(- \mathrm{i} \frac{\alpha L_z}{\hbar}\right) \end{equation}

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