图

轻杆模型

预备知识 速度 加速度

   轻杆在这里指是质量可以忽略不计, 且不能伸缩的刚性杆. 轻杆和质点一样都是一种理想化的模型. 我们先来讨论轻杆的运动学特性, 而把动力学放到后面.

不可伸长条件

速度约束

   我们来思考 “不可伸长” 这一条件会对杆两端的速度和加速度带来什么约束. 令杆的长度为 $L$, 两端点的位置矢量分别为 $\bvec r_1$ 和 $\bvec r_2$, 则杆的长度平方为 $L^2 = (\bvec r_2 - \bvec r_1)^2$. 另外记端点的速度为 $\bvec v_1, \bvec v_2$.

   如果我们将 $\bvec r_1$ 指向 $\bvec r_2$ 的单位矢量记为 $\uvec r$

\begin{equation} \uvec r = \frac{\abs{\bvec r_2 - \bvec r_2}}{L} \end{equation}

   长度平方随时间的变化的率为1

\begin{equation} \dv{t} L^2 = \dv{t} (\bvec r_2 - \bvec r_1)^2 \end{equation}
由矢量求导法则
\begin{equation} \dv{t} L^2 = 2L \dvTwo{L}{t} = 2 (\bvec r_2 - \bvec r_1) \vdot (\bvec v_2 - \bvec v_1) = 2L (\bvec v_2 - \bvec v_1) \vdot \uvec r \end{equation}
\begin{equation} \dvTwo{L}{t} = \bvec v_2 \vdot \uvec r - \bvec v_1 \vdot \uvec r \end{equation}
所以要满足长度恒定不变, 只需要满足(充分必要条件)
\begin{equation} \bvec v_2 \vdot \uvec r = \bvec v_1 \vdot \uvec r \end{equation}
该式的意思是, 两个端点的速度延杆的分量在任意时刻都相等.

例1 

  

图
图1:杆的运动

   如图 3 , 杆的两端被固定在两个垂直的轨道上运动, 两端的运动速度分别为 $v_1, v_2$, 已知杆与水平轨道的夹角为 $\theta$, 求 $v_1$ 和 $v_2$ 的关系.

   解: 由式 5 , 两速度在杆方向的分量应该相等, 即

\begin{equation} v_2 \cos\theta = v_1 \sin\theta \end{equation}
\begin{equation} v_2 = v_1 \tan\theta \end{equation}

例2 人拉船模型
图
图2:人拉船模型

   如图 2 , 人在岸上通过一小滑轮用绳子以速度 $v$ 拉船, 绳子与水平面的夹角为 $\theta$, 求船的速度 $u$.

   解: 我们可以把从滑轮到船的这段绳子的长度缩短的速度用式 4 来计算, 这个速度也就是人的速度

\begin{equation} v = -\dvTwo{L}{t} = u \cos\theta \end{equation}
所以
\begin{equation} u = \frac{v}{\cos\theta} \end{equation}

习题1 

   三个小朋友 $ACB$ 两两相距 $30\Si{m}$, 接下来的任意时刻 $A$ 向着 $B$ 跑, $B$ 向着 $C$ 跑, $C$ 向着 $A$ 跑, 速度都相等. 求他们相遇时, 各跑了多少路程.

角速度

预备知识 圆周运动的加速度

   若已知两端点的速度, 如何求出角速度呢? 我们可以在以 $\bvec r_1$ 为原点的无转动的参考系中观察,此时轻杆另一端的速度为 $\bvec v_2' = \bvec v_2 - \bvec v_1$ 且与 $\uvec r$ 垂直, 所以角速度大小为

\begin{equation} \omega = \frac{\abs{\bvec v_2 - \bvec v_1}}{r} \end{equation}
矢量表达式为
\begin{equation} \bvec \omega = \uvec r \cross \frac{\bvec v_2 - \bvec v_1}{r} \end{equation}

加速度约束

   若我们想知道对加速度的约束, 只需对式 3 两边再求一次时间导数, 即式 2 的二阶时间导数.

\begin{equation} \dv[2]{t} (\bvec r_2 - \bvec r_1)^2 = (\bvec v_2 - \bvec v_1)^2 + (\bvec r_2 - \bvec r_1) \vdot (\bvec a_2 - \bvec a_1) = 0 \end{equation}

   用式 10 把 $(\bvec v_2 - \bvec v_1)^2$ 用 $\omega$ 表示, 再两边除以 $r$ 得

\begin{equation} \bvec a_1 \vdot \uvec r - \bvec a_2 \vdot \uvec r = \omega^2 r \end{equation}
$\omega$ 是杆的瞬时角速度的大小.

例3 
图
图3:杆的运动

   在例 1 的模型中, 若已知端点的速度 $v_1, v_2$ 和 $\theta$, 求两点加速度 $a_1, a_2$ 的关系.

   解: 由式 11 式 13 得,

\begin{equation} \omega = (v_2 \cos\theta + v_1 \sin\theta)/r \end{equation}
\begin{equation} a_2 \cos\theta - a_1 \sin\theta = \omega^2 r = (v_2 \cos\theta + v_1 \sin\theta)^2/r \end{equation}

动力学

预备知识 转动惯量

   轻杆没有质量, 也没有转动惯量. 假设我们只能在轻杆的两端对其施加两个力 $\bvec F_1, \bvec F_2$, 这两个力会满足什么条件呢? 首先, 轻杆受到的合力必须为 $\bvec 0$, 否则他就会马上被加速到无限快. 这意味着这两个力大小相等, 方向相反($\bvec F_1 + \bvec F_2 = \bvec 0$). 其次, 它受到的和力矩必须也为 $\bvec 0$, 否则就会瞬间拥有无限大的角速度. 这意味着两个力必须共线, 即都延杆的方向. 于是我们可以令 $\bvec F_1 = F \uvec r$, $\bvec F_2 = -F \uvec r$.

   现在, 无论轻杆如何运动, 这两个力对轻杆做功的功率为

\begin{equation} P = \bvec F_1 \vdot \bvec v_1 + \bvec F_2 \vdot \bvec v_2 = F (\uvec r \vdot \bvec v_1 - \uvec r \vdot \bvec v_2) \end{equation}
式 5 可知功率恒为 0.


1. 为什么我们要用长度的平方而不是直接对 $\abs{\bvec r_2 - \bvec r_1}$ 求导? 我们的确可以这么做并得到同样的结果, 但是使用平方会使计算更方便.

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