函数（高中）

贡献者： 3sanha0; addis

预备知识　集合（高中）

本文处于草稿阶段。
本文存在未完成的内容。

　　本篇文章的预设读者是，对于函数的定义感到熟悉但又有些模糊，希望进一步了解函数的高中学生。

　　函数最开始是用于研究曲线的工具。高中时期函数往往出现在平面直角坐标系上，不同的函数就对应着不同的曲线，你也许有些困惑——说不清二者之间的区别和联系。比如 $f(x)=x^2$，对于每一个 $x_1$，都能够找到对应的 $f(x_1)$，进而得到平面上对应的点 $(x_1,f(x_1))$，这是它们的联系。而区别在于，不应认为曲线就是我们口中的函数，只能认为，一个函数可以确定一条曲线。

　　在高中时期，一个函数通常指的是一个计算式，输入一个数字，然后通过计算式计算以输出一个数字。数学家们在上述内涵中，进一步地抽象得到更加广泛的定义，以此让函数这一概念能够更加精确、更加广泛的描述事物。

　　我们可以将函数认作是对输入和输出的关系的描述，我们所见到的计算式就是告诉我们如果将输入得到输出的方法。用工厂来比喻，我们向自动化工厂的入料口中添加原材料，经过一系列复杂的加工得到了产品，其中的加工方法、流程就可以粗略地看作是一个函数。又或者更加具体的说，让若干水果变成水果沙拉的函数是，一份水果沙拉的制作方法+我们灵巧的双手。在原有的计算式的理解上更进一步，得到了计算机学科中对函数的理解。

从内容上，我们将输入、输出从数字拓宽到了更多事物
从数量上，我们不局限于单一输入，而是能够同时输入多种事物

图 1：函数

　　但是上述理解仍然不是数学上的理解，在数学中，我们将函数的概念进一步抽象。抛开对象之间如何实现转换的过程，而仅仅在两个事物之间建立对应关系——将集合中的全体元素，向另一个集合中的元素建立对应法则，一个对应法则就称为一个函数。 $$f:\{1,2,3,4\}\to\{1,2,3,4,5\}~.$$ 其中具体的对应法则为 $f(1)=2,f(2)=3,f(3)=1,f(4)=1$，这样我们就打造了一个函数 $f$。其中左侧的集合 $\{1,2,3,4\}$ 称为定义域，右侧的集合 $\{1,2,3,4,5\}$ 称为上域，全体定义域经过对应关系得到的全体元素的集合为 $\{1,2,3\}$，称为值域或像。在这个记号下，我们将常见的抛物线方程记为

\begin{equation} f:\mathbb{R}\to{\mathbb{R}},x\mapsto{x^2}~. \end{equation}

我们已经从原有的函数概念中抽象得到了不同的概念，为了区分前后，我们为后来的解释取一个新的名字——映射。

　　在这个角度，我们可以

1. 单射满射双射

　　上文中，我们已经粗糙地展示了映射的内涵，在这个基础上补充一些扩展资料。

定义 1　单射

　　设 $f:A\to{B}$，任意两个不同的集合 A 中的元素 $a,b\in{A}$，$a\not={b}$，都有 $f(a)\not={f(b)}$，则称 $f$ 是一个单射。

图 2：单射

定义 2　满射

　　设 $f:A\to{B}$，任意集合 B 中的元素 $c\in{B}$，都存在 $a\in{A}$，使得 $f(a)=c$。则称 $f$ 是一个满射。

图 3：满射

定义 3　双射

　　设 $f:A\to{B}$，$f$ 既是单射又是满射，则称 $f$ 是一个双射或者一一对应。

图 4：双射

　　注：对于两个只有有限个元素的集合之间的映射，如果是双射，那么说明两个集合中的所有元素都可以两两的唯一对应 $f(a)=b,f^{-1}(b)=a$，并且两个集合的元素数量是相等的。

2. 复合函数

未完成：复合函数

3. 函数的性质

　　以后我们会看到一些用极限和导数描述的性质。例如连续性，一致连续，可导。

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