图

电偶极子

预备知识 电场

偶极子的电场

   令空间中两个位置不同的点电荷具有等量的异号电荷, 则他们构成一对电偶极子(electric dipole). 令他们的电荷量分别为 $q1$ 和 $q2$ ($q_1 + q_2 = 0$), 位置矢量分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _2$, 则它们的总电场为两个电荷各自电场的矢量和(见式 5

   (公式未完成)

   总电势同样是两个点电荷的电势之和

   (公式未完成)

   我们常常讨论的是偶极子远处的电势和电场分布, 即 $r \gg \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 \right\rvert $ 的情况. 定义电偶极矩为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{p}} = q_1 \boldsymbol{\mathbf{r}} _1 + q_2 \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 = q_2 ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _2 - \boldsymbol{\mathbf{r}} _1) \end{equation}
则电势分布为
\begin{equation} V_d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4πϵ_0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3} = \frac{1}{4πϵ_0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} }{r^2} \end{equation}
由此可以求出远处的电场分布
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} _d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{r^3} [3( \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} - \boldsymbol{\mathbf{p}} ] \end{equation}
注意这两个量分别随 $r$ 的平方反比和三次方反比下降.

偶极子远处电势推导

偶极子远处电场推导

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} _d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} V_d( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4πϵ_0} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} }{r^3} \end{equation}

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