图

达朗贝尔定理

   以下使用牛顿第二定律证明拉格朗日方程, 其中会使用到一个关于约束的定理叫做达朗贝尔定理

由牛顿第二定律证明拉格朗日方程

   注意以下所有的函数偏导都是把 $q_1, q_2\dots q_N, \dot q_1, \dot q_2\dots \dot q_N, t$ 作为变量,即对一个变量求导数而把其他变量看做常数.另外,势能 $V$ 和位矢 $\bvec r_j$ 与 $\dot q_i$ 无关,偏导为 0.

   系统动能为

\begin{equation} T = \frac12 \sum_j m_j \bvec v_j^2 = \frac12 \sum_j m_j \dot{\bvec r}_j \vdot \dot{\bvec r}_j \end{equation}
由矢量内积的求导法则
\begin{equation} \pdvTwo{T}{\dot q_i} = \sum_j m_j \dot{\bvec r}_j \vdot \pdvTwo{\dot{\bvec r}_j}{\dot q_i} \end{equation}
其中质点 $j$ 的速度可以用全导数 公式
\begin{equation} \dot{\bvec r}_j = \sum_k \pdvTwo{\bvec r_j}{q_k} \dot q_k + \pdvTwo{\bvec r_j}{t} \end{equation}
对 $\dot q_i$ 求偏导,注意位矢与 $\dot q_i$ 无关,所以求偏导时 $\pdvStarTwo{r_j}{q_k}$ 与 $\pdvStarTwo{r_j}{t}$ 可看做常数.
\begin{equation} \pdvTwo{\dot{\bvec r}_j}{\dot q_i} = \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} \end{equation}
代入式 2 并对时间求导得到拉格朗日方程的左边(我们暂时只讨论 $\pdvStarTwo{V}{\dot q_i} = 0$ 的情况)
\begin{equation} \dv{t} \pdvTwo{T}{\dot q_i} = \sum_j m_j \ddot{\bvec r}_j \vdot \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} + \sum_j m_j \dot{\bvec r}_j \vdot \dv{t} \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} \end{equation}
拉格朗日方程的右边为
\begin{equation} \pdvTwo{L}{q_i} = \pdvTwo{T}{q_i} - \pdvTwo{V}{q_i} \end{equation}
其中第一项为
\begin{equation} \pdvTwo{T}{q_i} = \sum_j m_j \dot{\bvec r}_j \vdot \pdvTwo{\dot{\bvec r}_j}{q_i} = \sum_j m_j \dot{\bvec r}_j \vdot \pdv{q_i} \dvTwo{\bvec r_j}{t} \end{equation}
第二项被定义为广义力
\begin{equation} Q_i = - \pdvTwo{V}{q_i} = \sum_j \qtyRound{-\pdvTwo{V}{x_j} \pdvTwo{x_j}{q_i} - \pdvTwo{V}{y_j}\pdvTwo{y_j}{q_i} - \pdvTwo{V}{z_j} \pdvTwo{z_j}{q_i}} = \sum_j \bvec F_j^{(a)} \vdot \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} \end{equation}
其中 $\bvec F_j^{(a)} = - \grad_j V$ 被称为非约束力.所以要证明拉格朗日方程,即证明式 5 等于式 7 式 8 , 首先需要证明
\begin{equation} \dv{t} \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} = \pdv{q_i} \dvTwo{\bvec r_j}{t} \end{equation}
也就是证明全导数和偏导数运算可对易.使用全导数 的定义,以及混合偏导 的性质,有
\begin{equation} \dv{t} \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} = \sum_k \pdv{q_k} \pdvTwo{\bvec r_i}{q_i} \dot q_k + \pdv{t} \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} = \sum_k \pdv{q_i} \pdvTwo{\bvec r_i}{q_k} \dot q_k + \pdv{q_i} \pdvTwo{\bvec r_j}{t} = \pdv{q_i} \dvTwo{\bvec r_j}{t} \end{equation}
然后我们需要证明
\begin{equation} \sum_j \qtyRound{\bvec F_j^{(a)} - m\ddot{\bvec r}_j} \vdot \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} = 0 \qquad (i = 1\dots N) \end{equation}
即可证明拉格朗日方程.该式被称为达朗贝尔定理.注意由于这里的 $\bvec F_j^{(a)}$ 为质点 $j$ 所受的非约束力而不是合力,所以求和项的小括号一般不为 0.

达朗贝尔定理证明

   令第 $j$ 个质点所受和力为 $\bvec F_j = \bvec F_j^{(a)} + \bvec F_j^{(c)}$, 两项分别为非约束力和约束力.由牛顿第二定律 $\bvec F_j - m\ddot{\bvec r}_j = 0$, 所以

\begin{equation} \sum_j \qtyRound{\bvec F_j^{(a)}+\bvec F_j^{(c)} - m\ddot{\bvec r}_j} \vdot \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} = 0 \qquad (i = 1\dots N) \end{equation}
现在我们只需证明
\begin{equation} \sum_j \bvec F_j^{(c)} \vdot \pdvTwo{\bvec r_j}{q_i} = 0 \qquad (i = 1\dots N) \end{equation}
由于以上偏微分中时间保持不变,约束力不做功,该求和为零,证毕.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利