图

函数的连续性

预备知识 极限

   简单来说, 连续函数定义为: 在某个区间内, 函数曲线是连续的. 例如常见的 $\sin x$, $\exp x$, $x^2$ 都在整个实数域上连续, 又例如 $\ln x$ 和 $1/x$ 在区间 $(0, \infty)$ 上连续, $\tan x$ 在所有 $x_n = (1/2 + n)\pi$($n$ 为自然数)处不连续, $1/x$ 在 $x = 0$ 处不连续. 但这只是一些简单的情况. 在一些情况下这种判断方法则显得不严谨, 例如 $ \sin\left(1/x\right) $ 在原点处的连续性(不连续)根据这个定义不好判断. 所以我们需要一个更严谨的定义.

定义1 函数的连续性
函数 $f(x)$ 在某点 $x = x_0$ 处连续的定义是
\begin{equation} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{equation}
如果一个函数在某区间的所有点都连续, 我们就说它在这个区间连续

   注意这里要求 $x$ 从左边和右边趋近于 $x_0$ 时的极限(即左极限和右极限)都成立.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利