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巴拿赫空间

预备知识 范数

   如果空间中任意柯西序列的极限都属于该空间, 那么该空间就是完备(complete)的.

   “完备” 可以形象理解为空间中没有 “漏洞”. 有限维空间都是完备的. 可数维空间都是不完备的. 例如有限阶多项式组成的空间就是不完备的(例如柯西序列的极限可以是 $ \mathrm{e} ^x$, 但是 $ \mathrm{e} ^x$ 并不属于该空间).

   我们把完备的赋范空间称为巴拿赫空间(Banach space)

极限

   极限

\begin{equation} \lim_{n\to\infty} x_n = x \end{equation}
的定义是
\begin{equation} \lim_{n\to\infty} \left\lVert x_n - x \right\rVert = 0 \end{equation}

例1 $\mathbb C^N$ 空间

   $N$ 维复空间 $\mathbb C^N$ 中若使用 $n$-范数, 则它是一个巴拿赫空间.

例2 连续函数空间

   有限闭区间上的所有连续函数构成的空间记为 $X := C[a, b]$, 这是一个不可数维的空间. 若令范数为

\begin{equation} \left\lVert u \right\rVert := \max_{a \leqslant x \leqslant b} \left\lvert u(x) \right\rvert \end{equation}
这是一个巴拿赫空间.

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