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球谐函数表

预备知识 球谐函数

   下面列出一些常见的球谐函数

\begin{equation} Y_l^m(\theta, \phi) = \sqrt{\frac{2l + 1}{4\pi} \frac{(l - m)!}{(l + m)!}} P_l^m (\cos\theta) \E^{\I m\phi} \end{equation}
\begin{equation} l = 0 \qquad Y_0^0 = \sqrt{\frac{1}{4\pi}} \end{equation}
\begin{equation} l = 1 \qquad \leftgroup{ Y_1^0 &= \sqrt{\frac{3}{4\pi}} \cos\theta \\ Y_1^{\pm 1} &= \mp\sqrt{\frac{3}{8\pi}} \sin\theta \ \E^{\pm\I\phi} }\end{equation}
\begin{equation} l = 2 \qquad \leftgroup{ Y_2^0 &= \sqrt{\frac{5}{16\pi}} (3\cos^2 \theta - 1)\\ Y_2^{\pm1} &= \mp \sqrt{\frac{15}{8\pi}} \sin\theta \cos\theta \ \E^{ \pm \I\phi}\\ Y_2^{\pm 2} &= \sqrt{\frac{15}{32\pi}} \sin ^2\theta \ \E^{\pm 2\I\phi} }\end{equation}
\begin{equation} l = 3 \qquad \leftgroup{ Y_3^0 &= \sqrt{\frac{7}{16\pi}} (5\cos^3 \theta - 3 \cos \theta)\\ Y_3^{\pm1} &= \mp \sqrt{\frac{21}{64\pi}} \sin\theta (5\cos^2\theta - 1) \ \E^{ \pm \I\phi}\\ Y_3^{\pm 2} &= \sqrt{\frac{105}{32\pi}} \sin ^2\theta \cos\theta \ \E^{\pm 2\I\phi}\\ Y_3^{\pm 3} &= \mp \sqrt{\frac{35}{64\pi}} \sin ^3\theta \ \E^{\pm 3\I\phi} }\end{equation}

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