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二维波动方程

预备知识 一维波动方程, 梯度, 散度

   假设我们有一个紧绷的橡皮薄膜, 单位长度的张力为 $\lambda$. 面密度为 $\sigma$, 均为常数. 取一小块微元进行受力分析, 其质量为 $m = \sigma S$. 要分析其受力, 可以将面元的边界划分成许多小段, 每小段给面元施加的竖直方向的力等于 $\lambda$ 乘以法相斜率 $ \boldsymbol\nabla u$ 再乘以该小段长度 $ \,\mathrm{d}{l} $. 注意只有再假设其振动幅度很小时这才成立, 因为斜率是 $\tan\theta$, 而严格来说我们需要 $\sin\theta$, 类比同一维波动方程的推导

\begin{equation} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{t}^{2}} = \frac{\lambda}{\sigma S}\oint [ \boldsymbol\nabla u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{l} \end{equation}
$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为边界在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处向外的法向量.

   当 $S \to 0$, 根据散度的定义

\begin{equation} \frac{1}{S} \oint [ \boldsymbol\nabla u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{l} \to \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla u) = \boldsymbol{\nabla}^2 u \end{equation}
所以波动方程为
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u - \frac{\sigma}{\lambda} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{t}^{2}} = 0 \end{equation}

   特殊地, 当薄膜保持静止不动, 我们就得到了拉普拉斯方程

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