二维波动方程
假设我们有一个紧绷的橡皮薄膜， 单位长度的张力为 $\lambda$． 面密度为 $\sigma$， 均为常数． 取一小块微元进行受力分析， 其质量为 $m = \sigma S$． 要分析其受力， 可以将面元的边界划分成许多小段， 每小段给面元施加的竖直方向的力等于 $\lambda$ 乘以法相斜率 $ \boldsymbol\nabla u$ 再乘以该小段长度 $ \,\mathrm{d}{l} $． 注意只有再假设其振动幅度很小时这才成立， 因为斜率是 $\tan\theta$， 而严格来说我们需要 $\sin\theta$， 类比同一维波动方程的推导．
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}{u}}{\partial{t}^{2}} = \frac{\lambda}{\sigma S}\oint [ \boldsymbol\nabla u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{l}
\end{equation}
当 $S \to 0$， 根据散度的定义
\begin{equation}
\frac{1}{S} \oint [ \boldsymbol\nabla u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{l} \to \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla u) = \boldsymbol{\nabla}^2 u
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 u - \frac{\sigma}{\lambda} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{t}^{2}} = 0
\end{equation}
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