图

Wigner D 矩阵

预备知识 球谐函数

   若我们把球谐函数 $Y_{l, m}(\uvec r)$ 绕原点进行某种旋转, 得到的函数可以表示成球谐函数的线性组合, 且只需要同一个 $l$ 子空间中的球谐函数, 若将旋转算符(主动)记为 $\mathcal{R}$, 则

\begin{equation} \mathcal R\ket{l, m} = \sum_{m'} \mel{l, m'}{\mathcal R}{l, m} \ket{l, m'} \end{equation}
我们把系数矩阵称为 Wigner D 矩阵
\begin{equation} D_{m', m}^l = \mel{l, m'}{\mathcal R}{l, m} \end{equation}

表达式

   一种定义旋转的方法就是利用三个欧拉角表示旋转, 即先将 $\ket{l, m}$ 绕 $z$ 轴逆时针旋转 $\gamma$ 角, 再绕 $y$ 轴逆时针旋转 $\beta$ 角, 最后绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角. 我们将旋转算符记为 $\mathcal R(\alpha, \beta, \gamma)$. 由球谐函数的定义式 1 , 第一个旋转得到 $\expRound{-\I m \gamma}\ket{l, m}$.

   第二个旋转为

\begin{equation} \mathcal R(0, \beta, 0) \ket{l, m} = \sum_{m'} \mel{l, m'}{\mathcal R(0, \beta, 0)}{l, m} \ket{l, m'} \end{equation}
我们把系数矩阵称为 Wigner d 矩阵, 是 Wigner D 矩阵的一个特例.
\begin{equation} d_{m', m}^l(\beta) = D_{m', m}^l(0, \beta, 0) = \mel{l, m'}{\mathcal R(0, \beta, 0)}{l, m} \end{equation}
其表达式为(推导略)
\begin{equation}\ali{ d_{m', m}^l (\beta) = &\sqrt{(l + m')! (l - m')! (l + m)! (l - m)!} \times\\ &\sum_s \frac{(-1)^{m' - m + s} \qtyRound{\cos \frac{\beta}{2}}^{2l + m - m' - 2s} \qtyRound{\sin\frac{\beta}{2}}^{m' - m + 2s}}{(l + m - s)! s! (m' - m + s)! (l - m' - s)!} }\end{equation}
其中 $s$ 的取值范围需要保证被阶乘的数为非负.

   第二次旋转完以后我们得到若干个 $\ket{l, m'}$ 的线性组合, 要再次绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$ 角, 只需要把它们分别乘以 $\expRound{-\I m' \alpha}$ 即可. 所以 Wigner D 矩阵的完整表达式为

\begin{equation} D_{m', m}^l(\alpha, \beta, \gamma) = \E^{-\I m' \alpha} d_{m', m}^l(\beta) \E^{-\I m \gamma} \end{equation}

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