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速度 加速度(一维)

预备知识 位移, 复合函数求导, 牛顿—莱布尼兹公式

   速度和加速度都是矢量, 但如果我们考虑质点的一维运动(沿直线运动), 那么我们可以指定一个正方向并沿运动方向建立坐标轴. 这样一来, 我们就可以把一维情况下的位移、速度、加速度这些矢量用一个带正负号的标量来表示, 正号代表指向正方向, 负号代表指向负方向, 标量的绝对值就等于矢量的模长. 所以以下我们用坐标 $x$ 来表示一维位移, 实数 $v$ 和 $a$ 来表示一维速度和加速度.

   物理学中, 速度加速度通常指瞬时值. 在一维运动中, 瞬时速度的定义为一段极短时间 $\Delta t$ 内质点的位移 $\Delta x$ 除以这段时间, 瞬时加速度的定义为一段极短时间 $\Delta t$ 内质点的速度变化 $\Delta v$ 除以这段时间, 而这些恰好是导数的定义. 用极限符号和导数来表示, 就是

\begin{equation} v(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{x(t+\Delta t) - x(t)}{\Delta t} = \dvTwo{x(t)}{t} \end{equation}
\begin{equation} a(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{v(t+\Delta t) - v(t)}{\Delta t} = \dvTwo{v(t)}{t} \end{equation}
根据高阶导数的定义, 加速度就是位矢的二阶导数
\begin{equation} a(t) = \dvTwo[2]{x(t)}{t} \end{equation}

例1 匀加速运动

   已知匀加速运动的位移为 $x(t) = x_0 + v_0 t + a t^2/2$, 注意到这是一个幂函数, 求导得到速度为 $v(t) = v_0 + a t$, 再次求导(二阶导数)得到加速度为 $a(t) = a$. 可见这是一个匀加速运动.

例2 简谐振动

   已知简谐振动的位移函数为 $x(t) = A\cosRound{\omega t}$, 运用复合函数求导得速度为 $v(t) = -A\omega\sinRound{\omega t}$, 加速度为 $a(t) = -A\omega^2\cosRound{\omega t}$.

由速度或加速度求位移

   既然一维速度是位置的导数(即 $x(t)$ 是速度的原函数)由牛顿—莱布尼兹公式得速度在一段时间的定积分等于初末位置之差, 即

\begin{equation} x(t_2) - x(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \dd{t} \end{equation}
所以若已知某时刻质点的位置 $x(t_0) = x_0$, 和速度函数 $v(t)$, 就可以求得任意时刻的位置(为了区分积分变量和积分上限, 我们把积分变量改成 $t'$)
\begin{equation} x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v(t') \dd{t'} \end{equation}

例3 匀速直线运动

   若一维运动的质点速度始终为 $v_0$, 由式 5

\begin{equation} x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t v_0 \dd{t} = x_0 + v_0(t-t_0) \end{equation}

   与式 4 式 5 同理,一维速度和加速度之间也有类似关系

\begin{equation} v(t_2) - v(t_1) = \int_{t_1}^{t_2} a(t) \dd{t} \end{equation}
\begin{equation} v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a(t') \dd{t'} \end{equation}

例4 匀加速直线运动

   若质点在 $t_0$ 时的位置为 $x_0$, 速度为 $v_0$, 且加速度始终等于常数 $a_0$, 求任意时刻的速度和加速度 $x(t)$.

   我们首先由式 8 得到速度函数为

\begin{equation} v(t) = v_0 + \int_{t_0}^t a_0 \dd{t'} = v_0 + a_0 (t - t_0) \end{equation}
然后再次积分得到位置函数
\begin{equation} x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t [v_0 + a_0 (t' - t_0)] \dd{t'} = x_0 + v_0 (t - t_0) + \frac12 a_0 (t - t_0)^2 \end{equation}

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