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速度 加速度

         

预备知识 速度 加速度 (一维), 矢量的导数,矢量积分

   在大学物理中,“位移”,“速度” 和 “加速度” 都是矢量,既包括了大小,也包括方向.如果没有特殊说明,它们一般是指 “瞬时速度” 和 “瞬时加速度”.

速度的定义

   考察一个质点在运动过程中在某时刻经过某一点的速度,就取质点在这一点附近的一小段位移 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} $,以及物体完成这段位移需要的时间 $\Delta t$. 那么当 $\Delta t$ 无穷小时,若 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} /\Delta t$ 存在极限,则这个极限就是速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $. 写成极限的形式,就是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} }{\Delta t} \end{equation}

速度与位矢的关系

   质点在运动时,其位矢 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是时间 $t$ 的函数,质点在 $t_1$ 时刻的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)$,经过时间 $\Delta t$, 位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1 + \Delta t)$, 所以物体在 $\Delta t$ 时间内的位移为

\begin{equation} \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1 + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1) \end{equation}
式 2 代入式 1 ,得
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_1) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1 + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{r}} (t_1)}{\Delta t} \end{equation}
根据矢量求导 的定义,这就是位矢对时间的导数,即
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}

   \eentry{匀速圆周运动的速度(求导法)}

加速度的定义

   通常情况下,质点运动轨迹上的每一点都会对应一个确定的速度矢量1, 类比速度的定义, 加速的定义为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} (t_1) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_1 + \Delta t) - \boldsymbol{\mathbf{v}} (t_1)}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
结合速度的定义,加速度为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{v}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) = \frac{\mathrm{d}^{2}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }}{\mathrm{d}{t}^{2}} \end{equation}
所以,加速度是速度对时间的导数,或者位矢对时间的二阶导数. \eentry{匀速圆周运动的速加速度(求导法)}

由速度或加速度计算位矢

   如果已知速度关于时间的函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} (t)$, 以及初始时间 $t_0$ 和位置 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$, 该如何得到位移—时间函数 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} (t)$ 呢? 类比一维的情况, 我们也可以通过矢量函数的定积分(见例 1 ) 来求出速度—时间函数进而求出位移—时间函数

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{v}} _0 + \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{\mathbf{a}} (t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{r}} (t) &= \boldsymbol{\mathbf{r}} _0 + \int_{t_0}^{t} \boldsymbol{\mathbf{v}} (t) \,\mathrm{d}{t} \end{aligned} \end{equation}

   \eentry{匀加速运动}


1. 注意上面的速度在定义时虽然取了两点,但是取极限以后,速度和位置是一一对应的,也就和时间一一对应,而不是两个位置和时间对应一个速度.

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