图

矢量场

预备知识 球坐标系的定义,矢量的求导法则

   对空间中指定范围的每一点 $P$ 赋予一个矢量 $\bvec v$, 就在该空间中形成了一个矢量场.例如,电荷附近的任意一点都存在一个电场矢量,这就构成了一个矢量场.管道中任意一点的水流都存在一个速度矢量,它们也构成一个矢量场.

   矢量场在不同的参考系中有不同的表示方法.在空间直角坐标系中,矢量场可以用矢量的三个分量关于 $x,y,z$ 三个坐标的函数表示.点 $P(x,y,z)$ 处的矢量分量为

\begin{equation} \leftgroup{ v_x(x,y,z) &= \bvec v \vdot \uvec x\\ v_y(x,y,z) &= \bvec v \vdot \uvec y\\ v_z(x,y,z) &= \bvec v \vdot \uvec z }\end{equation}
也可以作为单位正交基 的线性组合写成一个整体
\begin{equation} \ali{ \bvec v &= (\bvec v \vdot \uvec x)\,\uvec x + (\bvec v \vdot \uvec y)\,\uvec y + (\bvec v \vdot \uvec z)\,\uvec z\\ &= v_x(x,y,z)\,\uvec x + v_y(x,y,z)\,\uvec y + v_z(x,y,z)\,\uvec z }\end{equation}

   在球坐标系中,也可以把每个点的矢量根据该点处的三个单位矢量 $\uvec r$, $\uvec \theta$, $\uvec \phi$ 分解为三个分量. 基底的线性组合为

\begin{equation} \bvec v = v_r(r,\theta ,\phi)\,\uvec r + v_\theta(r,\theta ,\phi) \,\uvec\theta + v_\phi(r,\theta ,\phi)\,\uvec \phi \end{equation}

   需要特别注意,$\uvec r$, $\uvec \theta$, $\uvec \phi$ 也是关于 $(r,\theta ,\phi )$ 的函数,所以对 $\bvec v$ 求导(或偏导)时必须根据矢量的求导法则 进行.

   \eentry{力场}

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利