图

气体分子的速度分布

预备知识 多变量分布函数

   当我们描述大量气体分子的运动时, 在某时刻可以用一个速度分布函数 $f(v_x, v_y, v_z)$ 描述气体分子的速度分布, 或用矢量符号记为 $f(\bvec v)$, 也可以用球坐标表示为 $f(v, v_\theta, v_\phi)$.

   我们以下考虑各向同性的速度分部, 即 $f(v, v_\theta, v_\phi)$ 与方向 $v_\theta, v_\phi$ 无关, 可以简写为 $f(v)$. 另外以下将分子视为质点, 不考虑其转动和振动等内部运动.

速度的能均分定理

   我们来考虑分子的平均动能以及各个方向的平均动能之间的关系. 由于经典力学中动能为 $E_k = mv^2/2$, 我们只需要计算分子速度(以及各个分量速度)平方的平均值.

   令 $v_i$ 为速度分量 $v_x, v_y, v_z$ 中的一个, 有

\begin{equation} \ev{v_i^2} = \int v_i^2 f(v_x, v_y, v_z) \dd{v_x}\dd{v_y}\dd{v_z} \end{equation}
由于速度分布各向同性, 有
\begin{equation} \ev{v_x^2} = \ev{v_y^2} = \ev{v_z^2} \end{equation}
而速度模长平方的分布为
\begin{equation} \begin{aligned} \ev{v^2} &= \int (v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) f(v_x, v_y, v_z) \dd{v_x}\dd{v_y}\dd{v_z}\\ &= \sum_{i = x,y,z} \int v_i^2 f(v_x, v_y, v_z) \dd{v_x}\dd{v_y}\dd{v_z}\\ &= \sum_{i = x,y,z} \ev{v_i^2} = \frac{1}{3} \ev{v_i^2} \end{aligned} \end{equation}
这就说明, 分子的平均动能和各个分量之间的平均动能满足
\begin{equation} \bar E_{kx} = \bar E_{ky} = \bar E_{kz} = \frac{1}{3} \bar E_k \end{equation}
这相当于把总平均动能均分到了三个方向上, 所以称为能均分定理

速率分布

   若把速度(矢量)的模长 $v = \abs{\bvec v}$ 叫做速率, 则类比式 13 , 速率的分布函数为

\begin{equation} F(v) = 4\pi v^2 f(v) \end{equation}

   令气体分子的数量为 $N$, 则随机一个分子速度绝对值落在 $[v_a, v_b]$ 范围的概率为(类比式 12

\begin{equation} P_{ab} = \int_a^b F(v) \dd{v} = \int_a^b 4\pi v^2 f(v) \dd{v} \end{equation}
所以近似地, 该区间中的分子数量为
\begin{equation} N_{ab} = P_{ab} N \end{equation}

   (未完成)

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利