图

矢量算符

预备知识 矢量内积, 叉乘, 偏微分算符

标量函数与矢量函数

   我们先区分两种函数, 第一种是普通的多元函数 $f(x, y, z)$, 也叫标量函数, 即自变量 $x, y, z$ 是实数, 因变量也是实数1. 另一种是矢量函数, 一般用粗体加以区分(手写的时候在上方加箭头), 如 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z)$, 即因变量是一个 3 维矢量2. 矢量函数也可以记为三个分量的形式

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z) = f_x(x, y, z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + f_y(x, y, z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + f_z(x, y, z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}

矢量算符

   定义三维的矢量算符(vector operator)为 (也叫 nabla 或 del 算符)

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \end{equation}
$ \boldsymbol{\nabla} $ 作用在标量函数 $f(x, y, z)$ 上的结果称为函数的梯度, 是一个矢量函数
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla} f(x, y, z) = \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) f = \frac{\partial f}{\partial x} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{\partial f}{\partial y} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \frac{\partial f}{\partial z} \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
这可以类比矢量与标量的乘法.

   $ \boldsymbol{\nabla} $ 与矢量函数 $ \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z)$ 的作用通常有两种定义, 第一是 “点乘”, 结果称为函数的散度(divergence), 是一个标量函数

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z) &= \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \boldsymbol\cdot \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} f_x + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} f_y + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} f_z \right) \\ &= \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial z} \end{aligned} \end{equation}
可以类比两个矢量的点乘(内积)

   另一种情况是 “叉乘”, 结果称为函数的旋度(curl), 是一个矢量函数

\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{f}} (x, y, z) &= \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) \boldsymbol\times \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} f_x + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} f_y + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} f_z \right) \\ &= \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\f_x & f_y & f_z\end{vmatrix} \\ &= \left( \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \left( \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned} \end{equation}
可以类比两个矢量的叉乘

   另见拉普拉斯算符


1. 一些情况下也可以是复数
2. 一些情况下也可以是 $N = 1, 2, \dots$ 维

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利