图

矢量分析总结

标量场和矢量场

标量场

\begin{equation} \Phi=\Phi(x,y,z) \end{equation}
$\Phi$ 的数值是空间位置的函数 等值面
\begin{equation} \Phi=C \end{equation}
例如气压场、温度场.

矢量场(详见??

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} (x,y,z) \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的大小、方向是空间位置的函数. 例如速度场 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $、电场 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $.

   场线: 有方向的曲线,其上每一点切线方向都与 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的方向一致.

   场管: 由一束场线围城的管状区域.

标量场的梯度

方向微商

\begin{equation} \frac{\partial \Phi}{\partial l}=\lim_{\Delta l \to 0}\frac{\Delta \Phi}{\Delta l} \end{equation}
标量场 $\Phi$ 在 P 点沿 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{l}} $ 方向的方向微商.

标量场 $\Phi$ 的梯度

   沿方向微商最大的方向(即 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 方向).

\begin{equation} grad \Phi = \Delta \Phi =\frac{\partial \Phi}{\partial n} \end{equation}
$\Delta \Phi$ 方向总于 $\Phi$ 的等值面垂直.

   标量场的梯度是矢量场

   电势 $U$ 是标量场,其负梯度 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 是矢量场.

矢量场的通量和散度 高斯定理

定义

   通量

\begin{equation} \Phi_A=\iint\limits_{(S)} \boldsymbol{\mathbf{A}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{S}} } = \iint\limits_{(S)} A\cos\theta dS \end{equation}
流速场、流量、电通量、磁通量.

散度

\begin{equation} div \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} =\lim_{\Delta V \to 0}\frac{\Phi}{\Delta V} \end{equation}
矢量场的散度是标量场.

坐标表示

\begin{equation} \nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} = \frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z} \end{equation}
\begin{equation} \oint \boldsymbol{\mathbf{A}} =\iiint_V \nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} dV \end{equation}
矢量场通过任意闭合曲面 S 的通量等于它向包围体积 V 内的散度积分.

矢量场的环量和旋度 Stokes 定理

定义

   环量 $\Gamma$

\begin{equation} \Gamma=\oint_L \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot d \boldsymbol{\mathbf{l}} \end{equation}
矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 沿闭合回路线积分.

   $\delta S$ 为闭线 L 包围面积,$ \boldsymbol{\mathbf{n}} $ 为右旋单位法向量.

   旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} $

\begin{equation} rot \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} =\lim_{\Delta S \to 0} \frac{\oint_L \boldsymbol{\mathbf{A}} d \boldsymbol{\mathbf{l}} }{\Delta S} \end{equation}
矢量场的旋度仍是矢量场.

坐标表示

\begin{equation} \nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\mathbf{i}} & \boldsymbol{\mathbf{j}} & \boldsymbol{\mathbf{k}} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ A_x & A_y & A_z \end{vmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \nabla = \boldsymbol{\mathbf{i}} \frac{\partial}{\partial x}+ \boldsymbol{\mathbf{j}} \frac{\partial}{\partial}y + \boldsymbol{\mathbf{k}} \frac{\partial}{\partial z} \end{equation}

stokes 定理

\begin{equation} \oint_L \boldsymbol{\mathbf{A}} d \boldsymbol{\mathbf{l}} =\iint_S (\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} )\cdot d \boldsymbol{\mathbf{S}} \end{equation}
矢量场在任意闭合回路 L 上的环量等于它为边界的曲面 S 上旋度的积分.

一些重要公式

场量乘积的微分公式

   梯度

\begin{equation} \nabla(\Phi \Psi)=(\nabla \Phi)\Psi+\Phi(\nabla \Psi) \end{equation}
\begin{equation} \nabla( \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} )=( \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \nabla) \boldsymbol{\mathbf{B}} +( \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot\nabla)+ \boldsymbol{\mathbf{A}} \times(\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )+ \boldsymbol{\mathbf{B}} \times(\nabla \times \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \end{equation}
其中 $( \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot\nabla) \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 即为张量.

   散度

\begin{equation} \nabla\cdot(\Phi \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\nabla\Phi\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} +\Phi\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
\begin{equation} \nabla\cdot( \boldsymbol{\mathbf{A}} \times \boldsymbol{\mathbf{B}} )= \boldsymbol{\mathbf{B}} \cdot\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} - \boldsymbol{\mathbf{A}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}

   旋度

\begin{equation} \nabla\times(\Phi \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\Phi\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} +\nabla\Phi\times \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}

二阶微商公式

\begin{equation} \nabla\times\nabla\Phi=0 \end{equation}
\begin{equation} \nabla\cdot\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0 \end{equation}
\begin{equation} \nabla\times(\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} )=\nabla(\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} )-\nabla\cdot\nabla \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
\begin{equation} \nabla\cdot\nabla=\nabla^2 \end{equation}
此为 Laplace 算符.

矢量场的分类

有散场和无散场

   散度为 0,即无源,为无散场;散度不为 0,即有源,有散场.

\begin{equation} \nabla\cdot\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0 \end{equation}
知,任何矢量场的旋度永远是无散场.

   任何无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 可表达成某矢量场的旋度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0 \end{equation}

有旋场和无旋场

   旋度为 0,为无旋场;反之为有旋场.

\begin{equation} \nabla\times\nabla\Phi=0 \end{equation}
任何标量场的梯度永远是无旋场.

   任何无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 可表示为某个标量场 $\Phi$ 的梯度

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla\Phi,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0 \end{equation}

谐和场

   谐和场为某一矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 在某空间内既无散又无旋,由于其无旋,所以可以由势场表示:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} =\nabla\Phi,\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} =0 \end{equation}
同样由于其为无散场,所以有:
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} =\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ,\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0 \end{equation}
故可以导出 Laplace 方程:
\begin{equation} \nabla\cdot\nabla=\nabla^2 \end{equation}
谐和场的势函数满足 Laplace 方程.

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