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振动的指数形式

         

预备知识 二阶常系数齐次微分方程

   简谐振子的微分方程

\begin{equation} m\ddot x = - kx \end{equation}
是一个二阶常系数齐次微分方程. 其复数域的通解可以表示为
\begin{equation} x(t) = C_1 \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega t} + C_2 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
其中 $C_1, C_2$ 是任意复常数. 由于指数函数的运算往往比三角函数方便, 物理或工程中常常用指数函数表示振动, 即把式 1 的通解记为1
\begin{equation} \tilde x(t) = \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
其中 $\tilde A$ 是一个复数2, 称为复振幅, $\tilde A$ 的模长 $A = |\tilde A|$ 就是振幅, $\tilde A$ 幅角的相反数 $\varphi_0 = -\arg(\tilde A)$ 就是初相位3. 当我们用式 3 表示振动时, 其实部表示质点的坐标, 虚部没有物理意义.

   为了验证式 3 的确包含了实数域的通解, 我们可以先把复振幅表示为 $\tilde A = A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \varphi_0}$, 代入式 3 , 再取实部得

\begin{equation} x(t) = \operatorname{Re} [\tilde x(t)] = A \operatorname{Re} \left[ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} (\omega t + \varphi_0)} \right] = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \end{equation}

振动的叠加

   这里举一个例子说明使用指数函数比三角函数方便. 假设有若干个频率相同但振幅和初相位各不相同的振动 $x_i(t) = A_i \cos\left(\omega t + \varphi_{0i}\right) $, 现在我们来计算它们叠加的结果, 即 $\sum_i x_i(t)$. 若用两角和公式(式 4 )直接计算, 得

\begin{equation} \begin{aligned} \sum_i x_i(t) &= \sum_i [ A_i \cos\varphi_{0i} \cos\left(\omega t\right) - A_i\sin\varphi_{0i} \sin\left(\omega t\right) ]\\ &= \sum_i (A_i \cos\varphi_{0i}) \cos\left(\omega t\right) - \sum_i(A_i\sin\varphi_{0i}) \sin\left(\omega t\right) \end{aligned} \end{equation}
分别令 $C = \sum_i A_i \cos\varphi_{0i}$, $D = \sum_i A_i \sin\varphi_{0i}$, 且令 $A = \sqrt{C^2 + D^2}$, 以及令 $\varphi_0$ 满足 $\cos\varphi_0 = C/A$, $\sin\varphi_0 = D/A$, 则上式变为
\begin{equation} \sum_i x_i(t) = A [\cos\varphi_0 \cos\left(\omega t\right) - \sin\varphi_0 \sin\left(\omega t\right) ] = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \end{equation}
可见任意多个相同频率的简谐波叠加仍然是该频率的一个简谐波.

   若我们用指数形式的振动来进行同样的计算, 第 $i$ 个振动可表示为 $\tilde x_i(t) = \tilde A_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}$, 其中 $\tilde A_i = A_i \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega\varphi_{0i}}$. 求和得

\begin{equation} \sum_i \tilde x_i(t) = \left(\sum_i \tilde A_i \right) \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
令 $\tilde A = \sum_i \tilde A_i$, $A = |\tilde A|$, $\varphi_0 = -\arg(\tilde A)$, 则最后结果为
\begin{equation} \sum_i \tilde x_i(t) = \tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \end{equation}
\begin{equation} \sum_i x_i(t) = \operatorname{Re} \left[\tilde A \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t} \right] = A \cos\left(\omega t + \varphi_0\right) \end{equation}
不难证明上式的 $A$ 和 $\varphi_0$ 与式 6 得到的 $A$ 和 $\varphi_0$ 相同, 但是这里的推导的过程却更为简洁.


1. 式 3 中 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega t}$ 里的负号是一种习惯, 有些教材中也会使用正号. 无论使用哪一种, 必须在计算中保持一致.
2. 在变量上方加波浪线通常为了强调该变量是一个复数, 但为了书写方便有时候也会省略, 需要从语境中判断.
3. 如果式 3 中没有负号, 则初相位定义为 $\varphi_0 = \arg(\tilde A)$

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