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物理量和单位转换

预备知识 几何矢量

   我们首先要区分两类变量, 一种是只有数值没有单位, 姑且临时叫做 “数学量”, 另一种既有数值也有单位通常叫做物理量. 我们可以把物理量和一维几何矢量的部分性质类比: 一个一维几何矢量本身也不能用一个数字描述, 而是需要先选取一个矢量基底, 然后用一个数字(即坐标)乘以这个基底表示这个矢量. 例如若甲选择的基底是乙的基底的两倍, 那么甲的坐标数值将会是乙的一半.

   用公式表示, 假设某个矢量是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $, 两种不同的基底分别是 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _2$, 则

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = x_1 \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 = x_2 \boldsymbol{\mathbf{u}} _2 \end{equation}
其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是数学量. 现在, 如果我们已知 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _2$ 的关系, 例如
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 = c \boldsymbol{\mathbf{u}} _2 \end{equation}
其中 $c$ 也是一个数学量. 我们就可以直接将这个关系带入式 1 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _1$, 得
\begin{equation} x_1 (c \boldsymbol{\mathbf{u}} _2) = x_2 \boldsymbol{\mathbf{u}} _2 \end{equation}
现在等式两边都使用同样得基底, 于是他们的坐标也必定相同, 即
\begin{equation} x_2 = c x_1 \end{equation}

   同样, 若给出的关系是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} _2 = b \boldsymbol{\mathbf{u}} _1 \end{equation}
显然有 $b = 1/c$, 带入式 1 中的 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} _2$ 得
\begin{equation} x_1 = b x_2 \end{equation}

例1 长度

   我们来考虑一个表示长度的物理量 $L$. 在我们确定单位(类比矢量基底)以前, 它不能使用任何数字表示. 现在规定单位(即基底) 为 $l_1 = 1 \,\mathrm{cm} $, $l_2 = 1 \,\mathrm{m} $, 且有

\begin{equation} l_2 = 100 l_1 \end{equation}
若令 $L = 2 \,\mathrm{m} $, 则
\begin{equation} L = 2 l_2 = 2 (100 l_1) = 200 l_1 = 200 \,\mathrm{cm} \end{equation}
或者记为
\begin{equation} L = 2 \,\mathrm{m} = 2 (100 \,\mathrm{cm} ) = 200 \,\mathrm{cm} \end{equation}
若令 $L = 5 \,\mathrm{cm} $, 则
\begin{equation} L = 5 l_1 = 5 \left(\frac{1}{100} l_2 \right) = 0.05 \,\mathrm{m} \end{equation}
或者记为
\begin{equation} L = 5 \,\mathrm{cm} = 5 \left(\frac{1}{100} \,\mathrm{m} \right) = 0.05 \,\mathrm{m} \end{equation}

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