图

酋矩阵

预备知识 正交矩阵

   酋矩阵也叫幺正矩阵, 是正交矩阵的复数拓展, 即矩阵元可以是复数. 酋矩阵 $\mat U$ 的定义同样为

\begin{equation} \sum_k U_{ki} U_{kj} = \delta_{ij} \end{equation}
但由于复数的列矢量没有对应的几何矢量, 所以这里的正交完全是代数意义上的.

单位正交矩阵的超纲内容

预备知识 正交归一基底, 逆矩阵

   若一个实数方阵的每一列的模长都等于 $1$, 且任意两列都正交, 那么这个矩阵就是一个单位正交阵. 若 $\mat U$ 为单位正交阵, 则其矩阵元满足

\begin{equation} \sum_k U_{ki} U_{kj} = \delta_{ij} \end{equation}
其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克 $\delta$ 函数. 所以若把 $N$ 阶单位正交阵的每一列看做 $N$ 维空间中的一个单位矢量的直角坐标, 那么这些单位矢量就组成该空间的一组正交归一基底.

   式 2 也可以用矩阵转置和矩阵乘法表示为

\begin{equation} \mat U\Tr \mat U = \mat I \end{equation}
其中 $\mat I$ 是单位矩阵. 根据逆矩阵的定义, 我们得到单位正交矩阵的一个重要性质, 即其逆矩阵等于转置矩阵.
\begin{equation} \mat U^{-1} = \mat U\Tr \end{equation}
由逆矩阵的性质(式 2 )得
\begin{equation} \mat U \mat U\Tr = \mat U \mat U^{-1} = \mat I \end{equation}
表示为矩阵元的运算就是
\begin{equation} \sum_k U_{ik} U_{jk} = \delta_{ij} \end{equation}
所以单位正交矩阵的所有行同样正交归一. 易证式 2 式 6 互为充分必要条件, 都可以作为单位正交阵的定义.

几何理解

   为了更形象地理解单位正交阵的上述性质, 我们以二维几何矢量和二维实数方阵为例讨论, 三维的情况同理可得.

   任意的二维实数方阵可以看做是两个单位几何矢量 $\uvec u, \uvec v$ 在正交归一基底 $\uvec x, \uvec y$ 上的坐标(即内积).

\begin{equation} \mat U = \pmat{\uvec u \vdot \uvec x & \uvec v \vdot \uvec x \\ \uvec u \vdot \uvec y & \uvec v \vdot \uvec y} \end{equation}
显然矩阵的两个列矢量满足正交归一. 由内积的交换律, 我们同样可以把矩阵的两行分别看做单位矢量 $\uvec x, \uvec y$ 在正交归一基底 $\uvec u, \uvec v$ 上的坐标, 所以矩阵的两个行矢量同样正交归一.

   现在我们令任意几何矢量以 $\uvec x, \uvec y$ 为基底的坐标为 $(x, y)$, 以 $\uvec u, \uvec v$ 为基底的坐标为 $(u, v)$, 即

\begin{equation} \uvec v = u\uvec u + v\uvec v = x\uvec x + y\uvec y \end{equation}

   由正交归一基底的性质,

\begin{equation} \leftgroup{x &= (u\uvec u + v\uvec v)\vdot\uvec x\\ y &= (u\uvec u + v\uvec v)\vdot\uvec y} \qquad \leftgroup{u &= (x\uvec x + y\uvec y)\vdot\uvec u\\ v &= (x\uvec x + y\uvec y)\vdot\uvec v} \end{equation}
写成矩阵的形式, 就是
\begin{equation} \pmat{x\\y} = \pmat{\uvec u \vdot \uvec x & \uvec v \vdot \uvec x \\ \uvec u \vdot \uvec y & \uvec v \vdot \uvec y} \pmat{u\\v} \qquad \pmat{u\\v} = \pmat{\uvec x \vdot \uvec u & \uvec y \vdot \uvec u \\ \uvec x \vdot \uvec v & \uvec y \vdot \uvec v} \pmat{x\\y} \end{equation}
注意上式左边的矩阵是 $\mat U$, 右边的矩阵是 $\mat U\Tr$, 而右边的变换是左边的逆变换, 所以 $\mat U\Tr = \mat U^{-1}$.

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