图

二体系统

预备知识 质心 质心系, 自由度

   我们现在考虑两个仅受相互作用的质点 $A$ 和 $B$, 它们的质量分别为 $m_A$ 和 $m_B$. 由于不受系统外力, 在任何惯性系中它们的质心都会做匀速直线运动. 现在定义它们的相对位矢(也叫相对坐标)为点 $A$ 指向点 $B$ 的矢量

\begin{equation} \bvec R = \bvec r_B - \bvec r_A \end{equation}
且定义相对速度相对加速度分别为 $\bvec R$ 的导数 $\dot{\bvec R}$ 和二阶导数 $\ddot{\bvec R}$. 在质心系中观察, 由于质心始终处于原点, 两质点的位矢 $\bvec r_A$ 和 $\bvec r_B$ 满足
\begin{equation} m_A \bvec r_A + m_B \bvec r_B = \bvec 0 \end{equation}
联立式 1 式 2 可以发现在质心系中 $\bvec R, \bvec r_A, \bvec r_B$ 间始终存在一一对应的关系(共线且模长呈固定比例), 所以质心系中不受外力的二体系统只有三个自由度
\begin{equation} \bvec r_A = \frac{-m_B}{m_A + m_B} \bvec R \qquad \bvec r_B = \frac{m_A}{m_A + m_B} \bvec R \end{equation}

运动方程

   现在令质点 $A$ 对 $B$ 的作用力为 $\bvec F$ (与 $\bvec R$ 同向), 则由牛顿第三定律, $B$ 对 $A$ 有反作用力 $- \bvec F$. 两质点加速度分别为(牛顿第二定律) $\bvec a_A = -\bvec F/m_A$, $\bvec a_B = \bvec F/m_B$. 所以相对加速度为

\begin{equation} \ddot{\bvec R} = \ddot{\bvec r}_B - \ddot{\bvec r}_A = \frac{m_A+m_B}{m_Am_B} \bvec F \end{equation}
若定义两质点的约化质量
\begin{equation} \mu = \frac{m_A m_B}{m_A + m_B} \end{equation}
且将上式两边同乘约化质量, 我们得到相对位矢的牛顿第二定律
\begin{equation} \bvec F = \mu\ddot{\bvec R} \end{equation}
也就是说, 在质心系中使用相对位矢, 二体系统的运动规律就相当于单个质量为 $\mu$, 位矢为 $\bvec R$ 的质点的运动规律, 我们姑且将其称为等效质点. 而 $A$ 对 $B$ 的作用力可以看成等效质点的受力.

机械能守恒

   再来看系统的动能. 令 $\bvec v = \dot {\bvec R}$, 使用式 3 把系统在质心系中的总动能用相对位矢表示得

\begin{equation} E_k = \frac12 (m_A \dot{\bvec r}_A^2 + m_B \dot{\bvec r}_B^2) = \frac12 \frac{m_A m_B}{m_A + m_B} \dot{\bvec R}^2 = \frac12 \mu \dot{\bvec v}^2 \end{equation}
这恰好是等效质点动能.

   若两质点间的相互作用力的大小只是二者距离 $R = \abs{\bvec R}$ 的函数, 我们可以用一个标量函数 $F(R)$ 来表示力与距离的关系, 即

\begin{equation} \bvec F(\bvec R) = F(R) \uvec R \end{equation}
注意 $F(R) > 0$ 时两质点存在斥力, $F(R) < 0$ 时存在引力.

   根据“势能” 中的式 20 , 我们可以定义势能函数 $V(R)$ 为 $F(R)$ 的一个负原函数. 现在写出二体系统在质心系中的机械能为

\begin{equation} E = \frac12 \mu \dot{\bvec R}^2 + V(R) \end{equation}
由于系统不受外力, 机械能守恒.

动量守恒

   在质心系中, 两质点的总动量恒为零, 动量守恒. 令它们的动量分别为 $\bvec p_A$ 和 $\bvec p_B$, 有

\begin{equation} \bvec p_B = m_B \dot {\bvec r}_B = \mu \bvec v \end{equation}
令等效质点的动量为 $\bvec p = \mu \bvec v$, 则
\begin{equation} \bvec p = \bvec p_B = -\bvec p_A \end{equation}
即等效质点的动量等于质点 $B$ 的动量或质点 $A$ 动量的逆矢量.

角动量守恒

   由式 11 可得二体系统总角动量为

\begin{equation} \bvec L = \bvec r_A \cross \bvec p_A + \bvec r_B \cross \bvec p_B = \bvec R \cross \bvec p \end{equation}
即二体系统的总角动量等于等效质点的角动量.

   如果两个质点之间的相互作用力沿它们连线的方向, 那么所有两个力都经过质心, 即都不受任何力矩, 所以系统角动量守恒.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利