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双曲函数

预备知识 指数函数

   这里介绍三种双曲函数:双曲正弦函数, 双曲余弦函数和双曲正切函数, 他们的定义分别为

\begin{align} \sinh x &= \frac{ \mathrm{e} ^x - \mathrm{e} ^{-x}}{2}\\ \cosh x &= \frac{ \mathrm{e} ^x + \mathrm{e} ^{-x}}{2}\\ \tanh x &= \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{ \mathrm{e} ^x - \mathrm{e} ^{-x}}{ \mathrm{e} ^x + \mathrm{e} ^{-x}} \end{align}
其中 $ \mathrm{e} $ 是一个高等数学中常见的常数, 叫做自然对数底. 这三个函数的图像如图 1

图
图 1:三种双曲函数的图像

   注意 $\sinh x$ 和 $\tanh x$ 是奇函数, $\cosh x$ 是偶函数.

例1 反双曲正弦函数

   要求 $\sinh x$ 的反函数, 我们令

\begin{equation} x = \sinh y = \frac{ \mathrm{e} ^y - \mathrm{e} ^{-y}}{2} \end{equation}
整理成关于 $ \mathrm{e} ^y$ 的二次方程, 得
\begin{equation} ( \mathrm{e} ^y)^2 - 2x \mathrm{e} ^y - 1 = 0 \end{equation}
解出 $ \mathrm{e} ^y$ 为
\begin{equation} \mathrm{e} ^y = x \pm \sqrt{x^2 + 1} \end{equation}
由于 $ \mathrm{e} ^y > 0$, 上式取正号. 两边取自然对数, 得
\begin{equation} y = \sinh^{-1} x = \ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) \end{equation}

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