图

三矢量的混合积

预备知识 矢量的叉乘

   我们定义以下运算

\begin{equation} \bvec A \cross \bvec B \vdot \bvec C \end{equation}
为矢量 $\bvec A, \bvec B, \bvec C$ 的混合积. 混合积满足
\begin{equation} \bvec A \cross \bvec B \vdot \bvec C = \bvec B \cross \bvec C \vdot \bvec A = \bvec C \cross \bvec A \vdot \bvec B \end{equation}
这个公式可由图 1 记忆.

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图1:式 2 记忆法

   图中箭头的方向由叉乘的方向决定,与内积无关($\bvec A\cross \bvec B \vdot \bvec C = \bvec C \vdot (\bvec A \cross \bvec B)$).如果混合积的顺序取与箭头相反的方向, 根据叉乘的性质,需要在前面加上负号(叉乘不满足乘法交换律). 下式与上式互为相反数

\begin{equation} \bvec C \cross \bvec B \vdot \bvec A = \bvec B \cross \bvec A \vdot \bvec C = \bvec A \cross \bvec C \vdot \bvec B \end{equation}
另外要注意混合积的方向是由叉乘的顺序所决定的,与内积的顺序无关.

几何法证明

图
图2:矢量混合积的几何意义

   如图 2 , 以三个矢量为棱作平行六面体. 由练习 1 可知 $\abs{\bvec A \cross \bvec B}$ 就是 $\bvec A,\bvec B$ 所在平行四边形的面积. 令 $\bvec A \cross \bvec B = \abs{\bvec A \cross \bvec B} \uvec n$, 则 $\uvec n$ 为平面的法向量, 平行六面体的高为 $\abs{\uvec n \vdot \bvec C}$, 所以平行六面体的体积等于底面积乘以高

\begin{equation} V = \abs{\bvec A \cross \bvec B} \abs{\uvec n \vdot \bvec C} = \abs{\bvec A \cross \bvec B \vdot \bvec C} \end{equation}
同理可得对于同一平行六面体
\begin{equation} V = \abs{\bvec B \cross \bvec C \vdot \bvec A} = \abs{\bvec C \cross \bvec A \vdot \bvec B} \end{equation}
这里只证明了式 2 的绝对值, 要证明正负号, 定义 $\uvec n \vdot \bvec C < 0$ 时 $V$ 为负值即可.

代数法证明

预备知识 行列式

   不难证明三矢矢积若展开成分量的形式,等于三个矢量组成的行列式

\begin{equation} \bvec A \cross \bvec B \vdot \bvec C = \vmat{ A_x & A_y & A_z\\ B_x & B_y & B_z\\ C_x & C_y & C_z} \end{equation}
而利用行列式中任意两行置换符号改变,即可证明式 2

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