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连续叉乘的化简

预备知识 矢量的叉乘

   连续两个叉乘的化简也叫 BAC-CAB 定理

\begin{gather} \bvec A \cross (\bvec B \cross \bvec C) = \bvec B \vdot (\bvec A \vdot \bvec C) - \bvec C \vdot (\bvec A \vdot \bvec B)\\ (\bvec B \cross \bvec C) \cross \bvec A = \bvec C \vdot (\bvec A \vdot \bvec B) - \bvec B \vdot (\bvec A \vdot \bvec C) \end{gather}

   要证明这个定理可以将每个叉乘在各个基底上展开(式 11 ).

习题1 

   由式 11 证明式 1

   这里对连续叉乘的几何意义略作说明,便可解释该公式的结构,方便理解和记忆.考察第一条式子,先计算 $\bvec B \cross \bvec C$ (命名为 $\bvec D$) 方向垂直于 $\bvec B$ 和 $\bvec C$ 所在平面.又因为 $\bvec A \cross \bvec D$ 垂直于 $\bvec D$, 所以最终得到的矢量还是落到 $\bvec B$ 和 $\bvec C$ 所在平面上, 所以等式右边是 $\bvec B$ 和 $\bvec C$ 的线性组合.

   下面来介绍一种简单的记忆方法,括号外的矢量在哪边, 括号内靠近那边的矢量所在的项前面就是正号,另一项前面则是负号,如图 1 所示.

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图1:三矢量叉乘的化简
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