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连续叉乘的化简

预备知识 矢量的叉乘

   连续两个叉乘的化简也叫 BAC-CAB 定理

\begin{gather} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ) - \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} )\\ ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} = \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) - \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ) \end{gather}

   要证明这个定理可以将每个叉乘在各个基底上展开(式 11 ).

习题1 

   由叉乘的坐标定义(式 11 ) 证明式 1

   这里对连续叉乘的几何意义略作说明, 可以用于理解该公式的结构. 以式 1 为例, 根据叉乘的几何意义我们知道 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} $ (命名为 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $) 方向垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 所在平面. 又因为 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{D}} $ 垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{D}} $, 所以最终的矢量再次落到 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 所在平面上, 所以等式右边是 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 的线性组合.

   下面来介绍一种简单的记忆方法,括号外的矢量在哪边, 括号内靠近那边的矢量所在的项前面就是正号,另一项前面则是负号,如图 1 所示.

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图 1:三矢量叉乘的化简
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