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全导数

预备知识 全微分

   若多元函数包含若干个变量(以下以 $f(x,y,t)$ 为例),我们知道它可以对其中任意一个变量求偏导, 即 $ \partial f/\partial x $, $ \partial f/\partial y $, $ \partial f/\partial t $, 注意求偏导时其余两个变量不变.现在若把 $x,y$ 看做 $t$ 的函数, 那么 $f$ 归根结底也是 $t$ 的函数 $f[x(t),y(t),t]$, 我们可以将其对 $t$ 求导.为了强调这与对 $t$ 求偏导有所不同,我们把得到的函数叫做全导数

   与偏微分中的链式法的推导类似,我们先来看函数的全微分

\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} + \frac{\partial f}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
而根据 $x,y$ 与 $t$ 的微分关系
\begin{equation} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \qquad \,\mathrm{d}{y} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
代入上式得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial f}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
而若把 $f$ 看做 $t$ 的一元函数,又应该有全微分关系
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
对比以上两式可得 $f$ 关于 $t$ 的全导数为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial f}{\partial t} \end{equation}

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