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全导数

预备知识 全微分

   若多元函数包含若干个变量(以下以 $f(x,y,t)$ 为例),我们知道它可以对其中任意一个变量求偏导, 即 $\pdvStarTwo{f}{x}$, $\pdvStarTwo{f}{y}$, $\pdvStarTwo{f}{t}$, 注意求偏导时其余两个变量不变.现在若把 $x,y$ 看做 $t$ 的函数, 那么 $f$ 归根结底也是 $t$ 的函数 $f[x(t),y(t),t]$, 我们可以将其对 $t$ 求导.为了强调这与对 $t$ 求偏导有所不同,我们把得到的函数叫做全导数

   与偏微分中的链式法的推导类似,我们先来看函数的全微分

\begin{equation} \dd{f} = \pdvTwo{f}{x} \dd{x} + \pdvTwo{f}{y} \dd{y} + \pdvTwo{f}{t} \dd{t} \end{equation}
而根据 $x,y$ 与 $t$ 的微分关系
\begin{equation} \dd{x} = \dvTwo{x}{t} \dd{t} \qquad \dd{y} = \dvTwo{y}{t} \dd{t} \end{equation}
代入上式得
\begin{equation} \dd{f} = \qtyRound{ \pdvTwo{f}{x}\dvTwo{x}{t} + \pdvTwo{f}{y}\dvTwo{y}{t} + \pdvTwo{f}{t} }\dd{t} \end{equation}
而若把 $f$ 看做 $t$ 的一元函数,又应该有全微分关系
\begin{equation} \dd{f} = \dvTwo{f}{t} \dd{t} \end{equation}
对比以上两式可得 $f$ 关于 $t$ 的全导数为
\begin{equation} \dvTwo{f}{t} = \pdvTwo{f}{x}\dvTwo{x}{t} + \pdvTwo{f}{y}\dvTwo{y}{t} + \pdvTwo{f}{t} \end{equation}

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