图

力矩

预备知识 矢量的叉乘

平面力矩

   如果只考虑一个厚度不计的片状物体在平面上的运动和受力, 受力点位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $, 力为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $, 那么对于一个给定的参考点(除非明确指出, 一般取坐标原点), 就可以计算物体的受到的力矩.

图
图1:力矩的两种几何理解

   根据初中所学的方法,应该先作出“力臂” $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot$ 与力的方向垂直(图 1 左).力矩的大小(用 $\tau$ 表示)为

\begin{equation} \tau = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} _ \bot \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert \sin \theta \end{equation}
其中 $\theta $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的夹角或其补角1. 从另一种角度来看,也可以把力 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 正交分解为平行 于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的分量和垂直于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的分量(图 1 右).其中平行分量不产 生力矩,垂直分量产生的力矩为
\begin{equation} \tau = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} _ \bot \right\rvert = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert \sin \theta \end{equation}
为了区分力矩的两个不同的方向(逆时针和顺时针),通常有两种做法:一是用正负号加以区分,例如规定逆时针的力矩为正,顺时针为负.这种定义把力矩看做一种标量(就像我们讨论一维运动时, 将速度表示成标量, 用正负号区分方向).另一种是根据叉乘的定义, 规定力矩为矢量,且
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} \end{equation}
显然,由这种定义,力矩大小还是 $\tau = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{r}} \right\rvert \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{F}} \right\rvert \sin \theta$, 但是逆时针力矩的方向垂直纸面指向读者,顺时针则相反.

空间力矩

   若物体受到若干个力,且受力点不在一个平面内,或者力方向不在同一平面内,则应该在三维空间内考虑力矩,这时力矩只能是矢量,且仍然定义为式 3 . 总力矩等于每个力所产生的力矩的矢量叠加.

力矩的坐标系变换

   一般来说,由于受力点的位置矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 与坐标系的选取有关,现在来看力矩在不同坐标系之间的变换.

   在坐标系 $A$ 中,第 $i$ 个受力点的位置矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai}$, 物体的合力矩为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _A = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
在另一坐标系 $B$ 中,$B$ 原点指向 $A$ 原点的矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA}$, 合力矩为
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _B &= \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA}) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{Ai} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i + \sum_i \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _A + \boldsymbol{\mathbf{r}} _{BA} \boldsymbol\times \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{aligned} \end{equation}
其中最后两步使用了叉乘的分配律.由结论可以看出,变换坐标系,力矩需要加上原坐标系相对新坐标系的位移叉乘物体的合力.由此也可以得出,若物体的合力为零,则力矩与参考系无关.


1. 因为 $ \sin\left(\pi - \theta\right) = \sin\theta$

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。

编辑词条(需要权限) 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利