贡献者： addis
每个 3j 符号和 CG 系数都一一对应且相差一个常数，用圆括号表示 3j 符号，方括号表示 CG 系数，有
\begin{equation}
\begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3\end{pmatrix}
= \frac{(-1)^{j_1 - j_2 - m_3}}{\sqrt{2j_3 + 1}} \begin{bmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &-m_3\end{bmatrix} ~.
\end{equation}
根据 CG 系数的计算公式（
式 1 ），也可以推出 3j 符号的。
1. 对称性
3j 符号具有很好的对称性。首先，任意交换两列等于在前面加 $(-1)^{j_1+j_2+j_3}$
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \begin{pmatrix}j_3 &j_2 &j_1\\ m_3 &m_2 &m_1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}j_1 &j_3 &j_2\\ m_1 &m_3 &m_2\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}j_2 &j_1 &j_3\\ m_2 &m_1 &m_3\end{pmatrix} \\
&= (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3\end{pmatrix}
\end{aligned} ~.\end{equation}
如果交换两次，3j 符号不变
\begin{equation}
\begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}j_2 &j_3 &j_1\\ m_2 &m_3 &m_1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}j_3 &j_1 &j_2\\ m_3 &m_1 &m_2\end{pmatrix} ~,
\end{equation}
将第二行取相反数也等于在前面加 $(-1)^{j_1+j_2+j_3}$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ -m_1 &-m_2 &-m_3\end{pmatrix}
= (-1)^{j_1+j_2+j_3} \begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
2. 选择定则
3j 符号的选择定则直接告诉我们哪些 3j 符号等于 0。有了选择定则，我们就无需计算不符合定则的 3j 符号。
从 CG 系数的选择定则可得三角不等式（三个不等式等效）
\begin{equation}
\left\lvert j_1 - j_3 \right\rvert \leqslant j_2 \leqslant j_1 + j_3~,\qquad
\left\lvert j_2 - j_3 \right\rvert \leqslant j_1 \leqslant j_2 + j_3 ~,\qquad
\left\lvert j_3 - j_1 \right\rvert \leqslant j_2 \leqslant j_3 + j_1~
\end{equation}
以及
\begin{equation}
m_1 + m_2 + m_3 = 0~.
\end{equation}
除此之外，以上每个对称性也可以得到一个选择定则：当 $j_1 + j_2 + j_3$ 为奇数时，如果任意两列相同，结果为 $0$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}j &j &j_3\\ m &m &m_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}j_1 &j &j \\ m_1 & m & m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}j &j_2 &j \\ m & m_2 & m\end{pmatrix} = 0~.
\end{equation}
当 $j_1 + j_2 + j_3$ 为奇数时，若 $m_1 = m_2 = m_3 = 0$，结果也为 $0$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}j_1 &j_2 &j_3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} = 0~.
\end{equation}
3. 特殊值
这在量子力学中会时常出现，例如在氢原子的选择定则中：
\begin{equation}
\begin{aligned} \begin{pmatrix}l+1 && 1 && l \\ -m && 0 && m\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}l && 1 && l+1 \\ -m && 0 && m\end{pmatrix} \\
&= -(-1)^{l-m} \sqrt{\frac{(l+1)^2-m^2}{(l+1)(2l+1)(2l+3)}}~.
\end{aligned}
\end{equation}
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