图

3j 符号

预备知识 CG 系数

   每个 3j 符号和 CG 系数都一一对应且相差一个常数, 用圆括号表示 3j 符号, 方括号表示 CG 系数, 有

\begin{equation} \pmat{j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3} = \frac{(-1)^{j_1 - j_2 - m_3}}{\sqrt{2j_3 + 1}} \bmat{j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &-m_3} \end{equation}

对称性

   3j 符号具有很好的对称性. 首先,任意交换两列等于在前面加 $(-1)^{j_1+j_2+j_3}$

\begin{equation} \ali{ &\pmat{j_3 &j_2 &j_1\\ m_3 &m_2 &m_1} = \pmat{j_1 &j_3 &j_2\\ m_1 &m_3 &m_2} = \pmat{j_2 &j_1 &j_3\\ m_2 &m_1 &m_3}\\ &= (-1)^{j_1+j_2+j_3}\pmat{j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3} }\end{equation}
如果交换两次, 3j 符号不变
\begin{equation} \pmat{j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3} = \pmat{j_2 &j_3 &j_1\\ m_2 &m_3 &m_1} = \pmat{j_3 &j_1 &j_2\\ m_3 &m_1 &m_2} \end{equation}
将第二行取相反数也等于在前面加 $(-1)^{j_1+j_2+j_3}$
\begin{equation} \pmat{j_1 &j_2 &j_3\\ -m_1 &-m_2 &-m_3} = (-1)^{j_1+j_2+j_3} \pmat{j_1 &j_2 &j_3\\ m_1 &m_2 &m_3} \end{equation}

选择定则

   3j 符号的选择定则直接告诉我们哪些 3j 符号等于 0. 有了选择定则, 我们就无需计算不符合定则的 3j 符号.

   从 CG 系数的选择定则可得三角不等式(三个不等式等效)

\begin{equation} \abs{j_1 - j_3} \leqslant j_2 \leqslant j_1 + j_3 \qquad \abs{j_2 - j_3} \leqslant j_1 \leqslant j_2 + j_3 \qquad \abs{j_3 - j_1} \leqslant j_2 \leqslant j_3 + j_1 \end{equation}
以及
\begin{equation} m_1 + m_2 + m_3 = 0 \end{equation}

   除此之外, 以上每个对称性也可以得到一个选择定则: 当 $j_1 + j_2 + j_3$ 为奇数时, 如果任意两列相同, 结果为 0

\begin{equation} \pmat{j &j &j_3\\ m &m &m_3} = \pmat{j_1 &j &j \\ m_1 & m & m} = \pmat{j &j_2 &j \\ m & m_2 & m} = 0 \end{equation}
当 $j_1 + j_2 + j_3$ 为奇数时, 若 $m_1 = m_2 = m_3 = 0$, 结果也为 0
\begin{equation} \pmat{j_1 &j_2 &j_3\\ 0 & 0 & 0} = 0 \end{equation}

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