图

泰勒展开

预备知识 高阶导数

   若一个函数在某个区间内可以求任意阶的导数(例如幂函数,三角函数,指数函数,对数函数等),那么这个函数可以用一个多项式近似,且总项数 $N$ 越多,近似得越精确. 令多项式为

\begin{equation} f(x) \approx c_0 + c_1(x - x_0) + c_2(x - x_0)^2 + \ldots = \sum_{n = 0}^N c_n (x - x_0)^n \end{equation}
其中 $x_0$ 是该区间内的任意一点,多项式每一项的系数由函数在 $x_0$ 处的第 $n$ 阶导数求得
\begin{equation} c_n = \frac{1}{n!} f^{(n)}(x_0) \end{equation}
注意其中 0 的阶乘为 $0! = 1$. 另外由式 1 得,当 $x=x_0$ 时,函数值等于多项式值. 当项数 $N$ 有限时,通常 $\abs{x-x_0}$ 越小多项式就越接近函数 . 以上这种把函数展开成多项式的方法就叫泰勒展开. 我们先来看一个例子

例1 正弦函数

   我们在 $x_0=0$ 处展开 $\sin x$, 由式 1 式 2

\begin{equation} \sin x = x - \frac{1}{3!}{x^3} + \frac{1}{5!}{x^5} - \frac{1}{7!} x^7 + \ldots \end{equation}
取不同的项数 $N$ 求和,画图如图 1 . 可见随着项数增加,多项式慢慢趋近正弦函数.

图
图1:$\sin x$ 在原点处的泰勒展开的前 $N$ 项求和.容易看出,求和的项数越多,多项式(橙)与 $\sin x$ (蓝)吻合得越好.

系数公式的推导

   我们假设当项数 $N \to \infty$ 时, 存在唯一的多项式在某区间内处处趋于无穷可导函数 $f(x)$1,即

\begin{equation} f(x) = \sum_{n = 0}^\infty c_n (x - x_0)^n \end{equation}
首先代入 $x = x_0$,可得第一个系数 $c_0 = f(x_0)$. 现在我们对上式两边在 $x_0$ 处求导,得
\begin{equation} f'(x_0) = c_1 + \eval{ \sum_{n = 2}^\infty n c_n (x - x_0)^{n - 1} }_{x = x_0} = c_1 \end{equation}
如果对式 4 两边在 $x_0$ 处求二阶导数,得
\begin{equation} f''(x_0) = 2 c_2 + \eval{ \sum_{n = 3}^\infty n(n - 1) c_n (x - x_0)^{n - 2} }_{x = x_0} = 2 c_2 \end{equation}
即 $c_2 = f''(x_0)/2!$. 以此类推,如果对式 4 两边在 $x_0$ 处求 $m$ 阶导数得
\begin{equation} f^{(m)}(x_0) = m! c_m + \eval{ \sum_{n = m + 1}^\infty \frac{n!}{(n - m)!} c_n (x - x_0)^{n - m} }_{x = x_0} = m! c_m \end{equation}
所以系数公式为
\begin{equation} {c_m} = \frac{1}{m!} f^{(m)}(x_0) \end{equation}

   泰勒展开的存在说明了无穷可导函数的一个重要性质:任何一点的性质都能决定完整的函数曲线,这可以类比生物中用一个细胞克隆出一个完整生物体.

一些常见函数关于原点的泰勒展开

   作为练习,请验证以下泰勒展开式

\begin{equation} \sin x = x - \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{5!} x^5 - \frac{1}{7!} x^7 \ldots \end{equation}
\begin{equation} \cos x = 1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 -\frac{1}{6!} x^6 \ldots \end{equation}
\begin{equation} \E^x =1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 \ldots \end{equation}
\begin{equation} \lnRound {1+x} = x - \frac12 x^2 + \frac13 x^3 - \frac14 x^4 \ldots \end{equation}
\begin{equation} \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 \ldots \end{equation}
\begin{equation} \sqrt{1+x} = 1 + \frac12 x - \frac18 x^2 + \frac{1}{16} x^3 \ldots \end{equation}

泰勒展开与近似

   事实上,泰勒展开可以看成是微分近似的一种高阶拓展. 微分近似中,在某点 $x_0$ 附近有

\begin{equation} f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \end{equation}
而这恰好是泰勒展开的前两项. 然而,这只是函数曲线在 $x_0$ 处的切线(见图 1 中 $N=1$ 的情况),显然没有高阶的泰勒展开那么精确. 如果我们将 $f(x)$ 近似到其泰勒展开的 $x^n$ 项, 我们称这个近似精确到第 $n$ 阶, 因为它的误差小于或等于 $n + 1$ 阶无穷小 $\order{x^{n + 1}}$.


1. 这叫做多项式的完备性,本书不证明.

致读者: 小时物理百科一直以来坚持所有内容免费且不做广告,这导致我们处于日渐严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择商业化,例如大量广告,内容付费,会员制,甚至被收购。因此,我们鼓起勇气在此请求广大读者热心捐款,使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨捐助 10 元,我们几天内就能脱离亏损状态,并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。感谢您的支持。
—— 小时(项目创始人)

编辑词条 返回目录 返回主页 捐助项目 © 小时物理百科 保留一切权利